Sistemi lineari

Argomento di Geometria e Algebra Lineare. Iniziato a lezione dopo la geometria nello spazio. Fonte: appunti della prof Sistemi lineari, p. 1-3; dispensa Postinghel, sezioni 2.1.1-2.1.2. Chiude il capitolo di geometria (Posizioni reciproche nello spazio, Distanze nello spazio) e apre la parte algebrica del corso.

Da dove arriva. Nel capitolo di geometria i sistemi lineari sono già comparsi ovunque: due rette sono incidenti se un sistema ha soluzione, una retta in cartesiane è un sistema di due equazioni, il punto d’intersezione fra retta e piano è la soluzione di un sistema. Qui si smette di risolverli a occhio e si costruisce la macchina generale: prima la notazione e le matrici associate, poi l’algoritmo di Gauss-Jordan (Algoritmo di Gauss-Jordan).

1Definizioni

1.1Lo spazio delle $n$ -uple

La prof: spazio delle ennuple ( $n$ -uple) di numeri reali,

\mathbb{R}^n = \{\, \vec{a} = (a_1, \ldots, a_n) \mid a_i \in \mathbb{R},\ i = 1, \ldots, n \,\}

Un elemento di $\mathbb{R}^n$ è una $n$ -upla (o ennupla) ordinata di numeri reali. Esempio della prof: $(1, 2, 3) \in \mathbb{R}^3$ è una terna, la stessa terna di coordinate che si usava in geometria.

L’ordine conta: $(1, 2, 3)$ e $(3, 2, 1)$ sono ennuple diverse. È la differenza fra un’ennupla e un insieme.

Operazioni. Per ogni $\vec{a}, \vec{b} \in \mathbb{R}^n$ e ogni $\lambda \in \mathbb{R}$ :

\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1,\ \ldots,\ a_n + b_n) \qquad \lambda \vec{a} = (\lambda a_1,\ \ldots,\ \lambda a_n)

La prof: “questo generalizza quanto visto per vettori geometrici in coordinate” (Vettori geometrici). Si lavora componente per componente, con un numero qualunque di componenti. La geometria smette di funzionare come disegno oltre $n = 3$ , l’algebra no.

1.2Equazione lineare (dalla dispensa)

La prof passa direttamente al sistema; la dispensa prima definisce la singola equazione, e serve a capire la parola “lineare”. Date $n$ incognite reali $x_1, \ldots, x_n$ , un’equazione lineare è un’equazione in cui ogni termine ha grado $1$ :

a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n = b

I numeri $a_1, \ldots, a_n$ sono i coefficienti, $b$ è il termine noto.

“Grado $1$ ” esclude $x_1^2$ , $x_1 x_2$ , $\sqrt{x_1}$ , $\sin x_1$ : le incognite compaiono solo moltiplicate per una costante e sommate fra loro. L’equazione cartesiana di un piano, $ax + by + cz + d = 0$ , è un’equazione lineare in tre incognite con termine noto $-d$ .

1.3Sistema lineare

Sistema lineare. La prof: un sistema di equazioni lineari (o sistema lineare) di $m$ equazioni in $n$ incognite è

(\ast) \quad \begin{cases} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \cdots + a_{1n} x_n = b_1 \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \cdots + a_{2n} x_n = b_2 \\ \quad \vdots \\ a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 + \cdots + a_{mn} x_n = b_m \end{cases}

Nel doppio indice $a_{ij}$ il primo indice è l’equazione (la riga), il secondo è l’incognita (la colonna). $m$ ed $n$ sono indipendenti: le equazioni possono essere più o meno delle incognite.

Soluzione. Un’ennupla di numeri reali $(t_1, \ldots, t_n)$ che sia soluzione di tutte le $m$ equazioni. Una che ne soddisfi solo alcune non conta.

Compatibile. Il sistema ammette soluzioni.

Incompatibile. Non ne ammette nessuna.

Omogeneo. $b_1 = b_2 = \cdots = b_m = 0$ , cioè tutti i termini noti sono nulli.

Sistemi equivalenti (dalla dispensa). Due sistemi nelle stesse incognite che ammettono esattamente le stesse soluzioni. È la nozione su cui si regge il metodo di Gauss: le operazioni elementari trasformano un sistema in uno equivalente più semplice, e le soluzioni non cambiano (Algoritmo di Gauss-Jordan).

1.4Matrice

Matrice. La prof: dati $m, n \geq 1$ numeri naturali, una matrice di ordine $m \times n$ a coefficienti reali è una tabella della forma

A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} = [a_{ij}]

$A$ ha $m$ righe e $n$ colonne, e $a_{ij}$ è l’elemento sulla $i$ -esima riga e sulla $j$ -esima colonna. Nell’ordine $m \times n$ le righe vengono sempre prima: una matrice $2 \times 3$ ha due righe e tre colonne.

1.5Le tre matrici di un sistema lineare

La prof associa al sistema $(\ast)$ tre matrici.

Matrice dei coefficienti $A$ , di ordine $m \times n$ : contiene tutti e soli i coefficienti $a_{ij}$ .

Matrice dei termini noti $\vec{b}$ , con $m$ righe e $1$ colonna:

\vec{b} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{bmatrix}

Matrice completa $[A \mid \vec{b}]$ , con $m$ righe e $n+1$ colonne: le due precedenti affiancate.

[A \mid \vec{b}] = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_m \end{bmatrix}

Il punto di tutta la costruzione: nel sistema i nomi delle incognite non servono a niente, servono solo i numeri e la loro posizione. La matrice completa contiene tutta l’informazione del sistema, e da lì in poi si lavora su di essa. Un’incognita che manca in un’equazione ha coefficiente $0$ , e lo $0$ va scritto nella sua colonna.

2Enunciati

2.1I sistemi omogenei sono sempre compatibili (dalla dispensa)

Sostituendo zero a ogni incognita, ogni membro sinistro diventa $0$ , e i termini noti sono già tutti $0$ . Si chiama soluzione banale; la domanda interessante su un sistema omogeneo non è se abbia soluzioni, ma se ne abbia altre oltre a quella. In geometria l’hai già incontrato: il sistema $\vec{n} \cdot \vec{v} = 0$ , $\vec{n} \cdot \vec{w} = 0$ per trovare una normale è omogeneo, e la soluzione banale $\vec{n} = \vec{0}$ è quella che non serve.

3Metodo

Scrivere le matrici di un sistema.

Porta ogni equazione nella forma “incognite a sinistra, nello stesso ordine; numero a destra”.
Una riga per equazione, una colonna per incognita: dove un’incognita manca scrivi $0$ .
$\vec{b}$ è la colonna dei numeri a destra; $[A \mid \vec{b}]$ le affianca.
Controlla l’ordine: $A$ è $m \times n$ , $[A \mid \vec{b}]$ è $m \times (n+1)$ .

Verificare una soluzione. Sostituisci l’ennupla in ogni equazione. Basta un’equazione falsa per dire che non è soluzione.

Il metodo per risolvere un sistema (operazioni elementari, Gauss-Jordan) sta in Algoritmo di Gauss-Jordan; per sapere prima quante soluzioni ha, Rango e Rouché-Capelli.

4Esempi svolti a lezione

Prof, appunti sistemi p. 1:

(1, 2, 3) \in \mathbb{R}^3

È una terna: $n = 3$ , tre componenti reali in un ordine preciso. Con le operazioni della prof, per esempio, $(1,2,3) + (0,1,-1) = (1, 3, 2)$ e $2(1,2,3) = (2,4,6)$ .

Dispensa, Esempio 12-13: un sistema compatibile e uno incompatibile

\begin{cases} x_1 + x_2 = 2 \\ x_1 - x_2 = 0 \end{cases}

La coppia $(1, 1)$ è soluzione: $1 + 1 = 2$ e $1 - 1 = 0$ . Il sistema è compatibile; per dirlo basta esibire una soluzione.

\begin{cases} x_1 + x_2 = 2 \\ x_1 + x_2 = 0 \end{cases}

La stessa quantità $x_1 + x_2$ dovrebbe valere $2$ e $0$ insieme: incompatibile.

Le matrici del primo sistema:

A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \qquad \vec{b} = \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \end{bmatrix} \qquad [A \mid \vec{b}] = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 0 \end{bmatrix}

I due sistemi hanno la stessa matrice dei coefficienti e differiscono solo nei termini noti: uno è compatibile e l’altro no. La compatibilità non si legge su $A$ da sola.

Tutor, esercitazione 1, es. 5.1, riletto come sistema lineare

Nell’esercizio sui tre piani il tutor “studia se il sistema lineare ammette soluzione” (svolto in Rette e piani nello spazio):

\begin{cases} z - 4 = 0 \\ x + y + 2 = 0 \\ 4x + 4y - z + 12 = 0 \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad [A \mid \vec{b}] = \left[\begin{array}{ccc|c} 0 & 0 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 0 & -2 \\ 4 & 4 & -1 & -12 \end{array}\right]

Tre equazioni in tre incognite ( $m = n = 3$ ), non omogeneo. I termini noti passano a destra col segno cambiato, e gli zeri segnano le incognite che mancano. Il sistema è compatibile con infinite soluzioni (tutti i punti della retta $r$ ): la terza riga è $4$ volte la seconda meno la prima, e non aggiunge informazione. Capire questo guardando solo la matrice è esattamente quello che fa Gauss-Jordan: la terza riga diventa nulla e il rango è $2$ (Rango e Rouché-Capelli).

5Esercizi tipo esame

Esercizio 1. Dato il sistema

\begin{cases} 2x_1 - x_2 + x_3 = 1 \\ x_1 + 3x_3 = 0 \end{cases}

a) scrivi $A$ , $\vec{b}$ , $[A \mid \vec{b}]$ con il loro ordine; b) stabilisci se $(0, -1, 0)$ e $(1, 1, 0)$ sono soluzioni. Il sistema è compatibile?

Soluzione

a) Due equazioni, tre incognite: $m = 2$ , $n = 3$ . Nella seconda equazione $x_2$ manca, quindi coefficiente $0$ .

A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 3 \end{bmatrix} \ (2 \times 3) \qquad \vec{b} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \ (2 \times 1) \qquad [A \mid \vec{b}] = \left[\begin{array}{ccc|c} 2 & -1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 3 & 0 \end{array}\right] \ (2 \times 4)

b) $(0, -1, 0)$ : prima equazione $0 + 1 + 0 = 1$ , vera; seconda $0 + 0 = 0$ , vera. È soluzione. $(1, 1, 0)$ : prima $2 - 1 + 0 = 1$ , vera; seconda $1 + 0 = 1 \neq 0$ , falsa. Non è soluzione: soddisfa una sola equazione.

Il sistema ha almeno la soluzione $(0, -1, 0)$ , quindi è compatibile.

Esercizio 2. Scrivi il sistema che ha matrice completa

\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 & 3 \end{array}\right]

nelle incognite $x_1, x_2, x_3$ , e mostra che è incompatibile.

Soluzione

Ogni riga è un’equazione, l’ultima colonna il termine noto:

\begin{cases} x_1 - x_3 = 2 \\ x_2 + x_3 = -1 \\ x_1 + x_2 = 3 \end{cases}

Se $(t_1, t_2, t_3)$ fosse una soluzione, sommando le prime due uguaglianze varrebbe $t_1 + t_2 = 2 + (-1) = 1$ . La terza chiede $t_1 + t_2 = 3$ . Non si può avere $1 = 3$ , quindi nessuna terna soddisfa tutte e tre: incompatibile.

In geometria: sono tre piani senza un punto comune a tutti e tre.

Esercizio 3. Trova il punto comune ai piani $x + y + z = 1$ , $x - y = 0$ , $z = 2$ : scrivi prima la matrice completa del sistema, poi risolvilo per sostituzione.

Soluzione

\begin{cases} x + y + z = 1 \\ x - y = 0 \\ z = 2 \end{cases} \qquad [A \mid \vec{b}] = \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right]

Dalla terza $z = 2$ , dalla seconda $y = x$ . Nella prima: $2x + 2 = 1$ , quindi $x = -\frac{1}{2}$ .

\left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 2\right)

Verifica: $-\frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 2 = 1$ , $-\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0$ , $z = 2$ . Soluzione unica: i tre piani si incontrano in un punto.

6Errori tipici

Scambiare l’ordine: $m \times n$ è righe per colonne, equazioni per incognite.
Dimenticare lo $0$ di un’incognita che manca, e far scivolare i coefficienti nella colonna sbagliata.
Lasciare il termine noto a sinistra col suo segno: in $x + y + 2 = 0$ il termine noto è $-2$ .
Dire che un’ennupla è soluzione perché soddisfa una delle equazioni: deve soddisfarle tutte.
Dedurre la compatibilità da $A$ soltanto: dipende anche da $\vec{b}$ .

7Domande

Cos’è $\mathbb{R}^n$ e cos’è un suo elemento?
Come si definiscono somma e prodotto per scalare in $\mathbb{R}^n$ ?
Cosa rende lineare un’equazione? Fai un esempio di equazione non lineare.
Nel coefficiente $a_{ij}$ , cosa indica $i$ e cosa indica $j$ ?
Quando un’ennupla è soluzione di un sistema lineare?
Che differenza c’è fra sistema compatibile e sistema incompatibile?
Quando un sistema è omogeneo, e perché è sempre compatibile?
Cosa sono due sistemi equivalenti, e perché la nozione serve per Gauss-Jordan?
Quali sono le tre matrici associate a un sistema lineare e che ordine hanno?
Perché la matrice completa basta a descrivere tutto il sistema?

1Definizioni

1.1Lo spazio delle nnn-uple

1.2Equazione lineare (dalla dispensa)

1.3Sistema lineare

1.4Matrice

1.5Le tre matrici di un sistema lineare

2Enunciati

2.1I sistemi omogenei sono sempre compatibili (dalla dispensa)

3Metodo

4Esempi svolti a lezione

5Esercizi tipo esame

6Errori tipici

7Domande

1.1Lo spazio delle $n$ -uple