Rango e Rouché-Capelli · GAL

Argomento di Geometria e Algebra Lineare. Fatto a lezione in L4, lun 28/9 (3 ore). Fonte: appunti della prof p. 7 (rango), p. 11 (teorema di Rouché-Capelli), p. 9-12 (esempio 4 con parametro); esercitazione 2 del tutor, mar 29/9, p. 3 (memo Rouché-Capelli), es. 3 e 4, p. 5-9. Prima: Algoritmo di Gauss-Jordan, da cui si prendono forma a scalini e pivot. Il rango torna nella L6 (6/10, “rango e invertibilità”), con le matrici.

A cosa serve. Gauss-Jordan risolve un sistema; Rouché-Capelli dice prima di risolverlo se ha soluzioni e quante. Con un parametro questo è l’unico modo ragionevole di procedere: si riduce una volta sola tenendo il parametro, si guarda dove i pivot possono annullarsi, e da lì si dividono i casi.

   rg(A) < rg(A|b)              ->  incompatibile (nessuna soluzione)
   rg(A) = rg(A|b) = n          ->  una sola soluzione
   rg(A) = rg(A|b) < n          ->  infinite soluzioni, n - rg(A) parametri liberi
                                    (n = numero di incognite = colonne di A)

1Definizioni

1.1Rango

La prof (p. 7): il rango di una matrice $A$ , $\operatorname{rg}(A)$ , è il numero di pivot di una sua forma a scalini.

Il numero di pivot è anche il numero di righe non nulle della forma a scalini. Leggendo le righe come equazioni, il rango conta quante equazioni del sistema sono davvero indipendenti: le righe che diventano nulle erano conseguenza delle altre (l‘“info ripetuta, superflua” del tutor nell’es. 2).

Esempio della prof (p. 8): la forma a scalini dell’esempio 1

\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 12 \\ 0 & 1 & -3 & -11 \\ 0 & 0 & -8 & -40 \end{array}\right]

ha tre pivot, quindi rango $3$ .

Due fatti che vengono dalla definizione.

$\operatorname{rg}(A) \leq$ numero di righe e $\operatorname{rg}(A) \leq$ numero di colonne: ogni pivot occupa una riga sua e una colonna sua.
$\operatorname{rg}(A) \leq \operatorname{rg}([A \mid \vec{b}]) \leq \operatorname{rg}(A) + 1$ . Riducendo $[A \mid \vec{b}]$ a scalini, le prime $n$ colonne sono una forma a scalini di $A$ ; la colonna in più può contenere al massimo un pivot in più.

2Enunciati

2.1Teorema di Rouché-Capelli

Ipotesi: un sistema lineare qualunque, $m$ equazioni e $n$ incognite, nessuna condizione su $m$ . Tesi: la compatibilità si decide confrontando due ranghi; il numero di soluzioni confrontando il rango con $n$ . Il confronto è sempre con le incognite, mai con le equazioni.

Nel caso 2 le soluzioni dipendono da $n - \operatorname{rg}(A)$ parametri liberi: tante quante le colonne di $A$ senza pivot. Non c’è un terzo caso “un numero finito maggiore di uno”: un sistema lineare ha $0$ , $1$ o infinite soluzioni.

Dimostrazione (con Gauss-Jordan)

Le operazioni elementari non cambiano le soluzioni, quindi si può ragionare sulla forma a scalini $[A' \mid \vec{b}']$ di $[A \mid \vec{b}]$ . Le prime $n$ colonne, $A'$ , sono una forma a scalini di $A$ ; quindi $\operatorname{rg}(A)$ = pivot di $A'$ e $\operatorname{rg}([A \mid \vec{b}])$ = pivot di $[A' \mid \vec{b}']$ .

Se $\operatorname{rg}(A) < \operatorname{rg}([A \mid \vec{b}])$ . C’è un pivot nell’ultima colonna. La sua riga è $(0 \ \cdots \ 0 \mid c)$ con $c \neq 0$ , cioè l’equazione $0 = c$ : nessuna ennupla la soddisfa. Incompatibile.

Se i ranghi sono uguali, $= r$ . Nessun pivot nell’ultima colonna: le righe non nulle sono $r$ e ognuna ha il pivot su un’incognita. Le $n - r$ incognite delle colonne senza pivot si possono scegliere liberamente; per ogni scelta, risalendo dal basso, ogni riga determina la sua incognita di pivot dividendo per il pivot ( $\neq 0$ ). Si ottiene una soluzione, quindi il sistema è compatibile.

$r = n$ : non ci sono variabili libere, la risalita dà una sola soluzione.
$r < n$ : c’è almeno una variabile libera; valori diversi danno soluzioni diverse, che sono infinite.

Sono tutti i casi, quindi vale anche il “solo se”: compatibile implica che non ci sia la riga $0 = c$ , cioè ranghi uguali. $\square$

2.2I tre esempi della prof, riletti

La prof (p. 11) rilegge con il teorema gli esempi 1, 2, 3 (Algoritmo di Gauss-Jordan), tutti con $n = 3$ :

esempio	$\operatorname{rg}(A)$	$\operatorname{rg}([A \vert \vec{b}])$	conclusione
1	$3$	$3$	unica soluzione, $(3, 4, 5)$
2	$2$	$2$	$2 < 3$ : infinite soluzioni, un parametro ( $z$ )
3	$2$	$3$	ranghi diversi: nessuna soluzione

3Metodo

3.1Calcolare il rango

Riduci a scalini con Gauss-Jordan (non serve la forma ridotta).
Conta i pivot, cioè le righe non nulle.

Per $\operatorname{rg}(A)$ e $\operatorname{rg}([A \mid \vec{b}])$ insieme: riduci una volta la matrice completa. $\operatorname{rg}(A)$ sono i pivot nelle prime $n$ colonne, $\operatorname{rg}([A \mid \vec{b}])$ quelli di tutta la matrice.

3.2Discutere un sistema con un parametro

È lo schema dell’esempio 4 della prof e degli es. 3-4 del tutor.

Scrivi $[A \mid \vec{b}]$ e scegli i pivot fra i numeri senza parametro finché puoi (scambi di righe con $S_{ij}$ ): un pivot che vale $k - 1$ obbliga a dividere i casi subito.
Riduci a scalini tenendo $k$ . Quando un’operazione richiede di dividere per un’espressione in $k$ , fermati: è un punto dove i casi si separano.
Guarda gli elementi che dipendono da $k$ nella posizione di possibili pivot. Fattorizzali: $-2a^2 + 2a = 2a(1 - a)$ si annulla per $a = 0$ e $a = 1$ .
Per ogni valore critico sostituisci il valore nella matrice a scalini e ricalcola i due ranghi; per tutti gli altri valori i ranghi sono quelli generici.
Applica Rouché-Capelli caso per caso e scrivi la conclusione per ogni $k \in \mathbb{R}$ .
Se chiede le soluzioni: per i valori generici riduzione all’indietro con $k$ dentro (si può dividere per i pivot perché $k$ non è critico); per i valori critici compatibili si risolve la matrice numerica.
Verifica: un valore generico comodo (es. $k = 0$ se non è critico) sostituito nella soluzione generale e nel sistema di partenza.

4Esempi svolti a lezione

Prof, 28/9, esempio 4, p. 9-12: sistema con parametro

k

Trovare tutte le soluzioni al variare del parametro $k$ :

\begin{cases} 2x - y - (k+1)z = -7 \\ 2x - (k+7)z = -9 \\ -x + y - 3z = 2 \\ x + y - (k+10)z = -7 \end{cases}

Quattro equazioni, tre incognite ( $n = 3$ ).

Riduzione. $S_{13}$ porta su la riga che inizia con $-1$ , senza parametro:

\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & -1 & -(k+1) & -7 \\ 2 & 0 & -(k+7) & -9 \\ -1 & 1 & -3 & 2 \\ 1 & 1 & -(k+10) & -7 \end{array}\right] \xrightarrow{S_{13}} \left[\begin{array}{ccc|c} -1 & 1 & -3 & 2 \\ 2 & 0 & -(k+7) & -9 \\ 2 & -1 & -(k+1) & -7 \\ 1 & 1 & -(k+10) & -7 \end{array}\right]

$E_{21}(2)$ , $E_{31}(2)$ , $E_{41}(1)$ :

$R_2 + 2R_1 = (0,\ 2,\ -(k+7) - 6 \mid -9 + 4) = (0, 2, -(k+13) \mid -5)$ ;
$R_3 + 2R_1 = (0,\ 1,\ -(k+1) - 6 \mid -7 + 4) = (0, 1, -(k+7) \mid -3)$ ;
$R_4 + R_1 = (0,\ 2,\ -(k+10) - 3 \mid -7 + 2) = (0, 2, -(k+13) \mid -5)$ .

La quarta riga è uguale alla seconda: con $E_{42}(-1)$ diventa nulla e la prof la cancella. Poi $E_{32}(-\frac{1}{2})$ : $R_3 - \frac{1}{2}R_2$ , con terzo elemento $-(k+7) + \frac{k+13}{2} = \frac{-2k - 14 + k + 13}{2} = -\frac{1}{2}(k+1)$ e termine noto $-3 + \frac{5}{2} = -\frac{1}{2}$ .

\left[\begin{array}{ccc|c} -1 & 1 & -3 & 2 \\ 0 & 2 & -(k+13) & -5 \\ 0 & 0 & -\frac{1}{2}(k+1) & -\frac{1}{2} \end{array}\right] \quad \text{è a scalini.}

Ranghi. Il terzo pivot $-\frac{1}{2}(k+1)$ si annulla solo per $k = -1$ .

$\operatorname{rg}(A) = 3$ se $k \neq -1$ ; $\operatorname{rg}(A) = 2$ se $k = -1$ .
$\operatorname{rg}([A \mid \vec{b}]) = 3$ per ogni $k \in \mathbb{R}$ : anche per $k = -1$ la terza riga è $(0, 0, 0 \mid -\frac{1}{2})$ , non nulla.

Compatibilità. Se $k \neq -1$ : $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}([A \mid \vec{b}]) = 3 = n$ , esiste un’unica soluzione. Se $k = -1$ : incompatibile, perché la terza equazione diventa $0 = -\frac{1}{2}$ .

La soluzione per $k = 1$ (p. 12), con la riduzione all’indietro. Per $k = 1$ la matrice è

\left[\begin{array}{ccc|c} -1 & 1 & -3 & 2 \\ 0 & 2 & -14 & -5 \\ 0 & 0 & -1 & -\frac{1}{2} \end{array}\right] \xrightarrow{D_1(-1),\ D_2(\frac{1}{2}),\ D_3(-1)} \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 3 & -2 \\ 0 & 1 & -7 & -\frac{5}{2} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} \end{array}\right]

$E_{12}(1)$ : $R_1 + R_2 = (1, 0, -4 \mid -\frac{9}{2})$ . Poi $E_{13}(4)$ : $R_1 + 4R_3 = (1, 0, 0 \mid -\frac{5}{2})$ ed $E_{23}(7)$ : $R_2 + 7R_3 = (0, 1, 0 \mid 1)$ .

(x, y, z) = \left(-\frac{5}{2},\ 1,\ \frac{1}{2}\right)

Verifica nel sistema di partenza con $k = 1$ : $-5 - 1 - 1 = -7$ ; $-5 - 4 = -9$ ; $\frac{5}{2} + 1 - \frac{3}{2} = 2$ ; $-\frac{5}{2} + 1 - \frac{11}{2} = -7$ .

In più (non fatto a lezione), per ogni $k \neq -1$ . La stessa risalita con $k$ dentro dà

z = \frac{1}{k+1}, \qquad y = \frac{2(2-k)}{k+1}, \qquad x = -\frac{4k+1}{k+1}

e per $k = 1$ ritrova $\left(-\frac{5}{2}, 1, \frac{1}{2}\right)$ . Il denominatore $k + 1$ è lo stesso fattore del pivot: per $k = -1$ la formula perde senso esattamente dove il sistema diventa incompatibile.

Tutor, 29/9, es. 3, p. 5-7: compatibile per ogni

k

\begin{cases} 3x + 2ky + 2z = k \\ x + y + z = k \\ 2x + y + z = 0 \end{cases} \qquad (k \in \mathbb{R})

i) Per quali $k$ il sistema è compatibile? ii) Trovare tutte le soluzioni per ogni $k$ .

Riduzione. $S_{13}$ porta in alto la riga senza parametro.

\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & k \\ 3 & 2k & 2 & k \end{array}\right] \xrightarrow[E_{31}(-\frac{3}{2})]{E_{21}(-\frac{1}{2})} \left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & k \\ 0 & \frac{4k-3}{2} & \frac{1}{2} & k \end{array}\right]

( $2k - \frac{3}{2} = \frac{4k-3}{2}$ , e $2 - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$ .) Per azzerare $\frac{4k-3}{2}$ col pivot $\frac{1}{2}$ serve $E_{32}(-(4k-3))$ :

terzo elemento: $\frac{1}{2} - (4k-3)\frac{1}{2} = \frac{4 - 4k}{2} = 2(1-k)$ ;
termine noto: $k - k(4k-3) = k(1 - 4k + 3) = 4k(1-k)$ .

\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & k \\ 0 & 0 & 2(1-k) & 4k(1-k) \end{array}\right]

i) Ranghi. Se $k \neq 1$ : $\operatorname{rg}(A) = 3 = \operatorname{rg}([A \mid \vec{b}])$ . Se $k = 1$ : la terza riga è tutta nulla, $\operatorname{rg}(A) = 2 = \operatorname{rg}([A \mid \vec{b}])$ . In entrambi i casi i ranghi sono uguali: compatibile per ogni $k$ . Unica soluzione per $k \neq 1$ ( $\operatorname{rg} = n = 3$ ), infinite per $k = 1$ .

ii) $k = 1$ . Si cancella la riga nulla; $D_1(\frac{1}{2})$ , $D_2(2)$ , poi $E_{12}(-\frac{1}{2})$ :

\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \end{array}\right] \to \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \end{array}\right] \qquad \begin{cases} x = -1 \\ y = 2 - z \end{cases} \quad z \in \mathbb{R}

ii) $k \neq 1$ . Si può dividere per $2(1-k)$ proprio perché $k \neq 1$ . $D_1(\frac{1}{2})$ , $D_2(2)$ , $D_3\!\left(\frac{1}{2(1-k)}\right)$ :

\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 2k \\ 0 & 0 & 1 & 2k \end{array}\right] \xrightarrow{E_{12}(-\frac{1}{2})} \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & -k \\ 0 & 1 & 1 & 2k \\ 0 & 0 & 1 & 2k \end{array}\right] \xrightarrow{E_{23}(-1)} \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & -k \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2k \end{array}\right]

(x, y, z) = (-k,\ 0,\ 2k)

Verifica: $-3k + 0 + 4k = k$ ; $-k + 0 + 2k = k$ ; $-2k + 0 + 2k = 0$ .

Tutor, 29/9, es. 4, p. 7-9: incompatibile per un valore, infinite per un altro

\begin{cases} x + (a-1)y + (2-a)z = a + 5 \\ x + ay + 2z = 4 \\ x + (a-2)y + (2-2a^2)z = 6 \end{cases} \qquad (a \in \mathbb{R})

i) Per quali $a$ è compatibile? ii) Trovare tutte le soluzioni, ove possibile.

Riduzione. $S_{12}$ mette in alto la riga più semplice. Poi $E_{21}(-1)$ ed $E_{31}(-1)$ :

\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & a & 2 & 4 \\ 1 & a-1 & 2-a & a+5 \\ 1 & a-2 & 2-2a^2 & 6 \end{array}\right] \to \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & a & 2 & 4 \\ 0 & -1 & -a & a+1 \\ 0 & -2 & -2a^2 & 2 \end{array}\right]

$E_{32}(-2)$ : $R_3 - 2R_2 = (0,\ 0,\ -2a^2 + 2a \mid 2 - 2a - 2) = (0, 0, 2a(1-a) \mid -2a)$ .

\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & a & 2 & 4 \\ 0 & -1 & -a & a+1 \\ 0 & 0 & 2a(1-a) & -2a \end{array}\right]

i) Ranghi. Il pivot $2a(1-a)$ si annulla per $a = 0$ e $a = 1$ .

$a \neq 0, 1$ : $\operatorname{rg}(A) = 3 = \operatorname{rg}([A \mid \vec{b}])$ , unica soluzione.
$a = 0$ : terza riga $(0, 0, 0 \mid 0)$ , $\operatorname{rg}(A) = 2 = \operatorname{rg}([A \mid \vec{b}])$ , infinite soluzioni.
$a = 1$ : terza riga $(0, 0, 0 \mid -2)$ , $\operatorname{rg}(A) = 2$ ma $\operatorname{rg}([A \mid \vec{b}]) = 3$ : incompatibile.

Compatibile se e solo se $a \neq 1$ . (Nella scansione la terza riga della tabella di $\operatorname{rg}(A)$ sembra dire ” $2$ se $a = 2$ ”: è $a = 1$ , come si vede dal fattore $1 - a$ .)

ii) $a = 0$ . La matrice diventa $\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 2 & 4 \\ 0 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right]$ (riga nulla cancellata); $D_2(-1)$ dà $y = -1$ . La colonna di $z$ è senza pivot:

\begin{cases} x = 4 - 2z \\ y = -1 \end{cases} \qquad z \in \mathbb{R}

ii) $a \neq 0, 1$ . $E_{12}(a)$ : $R_1 + aR_2 = (1,\ 0,\ 2 - a^2 \mid 4 + a^2 + a)$ . Poi $D_2(-1)$ e $D_3\!\left(\frac{1}{2a(1-a)}\right)$ , lecito perché $a \neq 0, 1$ :

\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 2-a^2 & a^2+a+4 \\ 0 & 1 & a & -(a+1) \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{1}{1-a} \end{array}\right]

$E_{23}(-a)$ : $y = -(a+1) + \frac{a}{1-a} = \frac{-(1-a^2) + a}{1-a} = \frac{a^2 + a - 1}{1-a}$ . $E_{13}(-(2-a^2))$ : $x = a^2 + a + 4 + \frac{2-a^2}{1-a} = \frac{(1-a)(a^2+a+4) + 2 - a^2}{1-a} = \frac{-a^3 - a^2 - 3a + 6}{1-a}$ .

x = \frac{-a^3 - a^2 - 3a + 6}{1-a}, \qquad y = \frac{a^2 + a - 1}{1-a}, \qquad z = -\frac{1}{1-a}

Verifica con $a = 2$ : $(x, y, z) = (12, -5, 1)$ . Prima: $12 - 5 + 0 = 7 = a + 5$ ; seconda: $12 - 10 + 2 = 4$ ; terza: $12 + 0 - 6 = 6$ .

5Esercizi tipo esame

Esercizio 1. Determinare il rango di

C(t) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & t \\ 2 & 4 & t+1 & 2t \\ 1 & 2 & 1 & t^2 \end{pmatrix}

al variare di $t \in \mathbb{R}$ .

Soluzione

$E_{21}(-2)$ : $R_2 - 2R_1 = (0, 0, t - 1, 0)$ . $E_{31}(-1)$ : $R_3 - R_1 = (0, 0, 0, t^2 - t)$ .

\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & t \\ 0 & 0 & t-1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & t(t-1) \end{pmatrix}

Gli elementi che possono fare da pivot sono $t - 1$ (colonna 3) e $t(t-1)$ (colonna 4). La colonna 2 non ha mai pivot.

$t \neq 0, 1$ : tre pivot, $1$ , $t - 1$ , $t(t-1)$ . Rango 3.
$t = 0$ : la seconda riga è $(0, 0, -1, 0)$ , la terza è nulla. Due pivot: rango 2.
$t = 1$ : seconda e terza riga nulle. Un pivot: rango 1 (le tre righe sono tutte $(1, 2, 1, 1)$ ).

Controllo con $t = 0$ : $C(0)$ ha righe $(1,2,1,0)$ , $(2,4,1,0)$ , $(1,2,1,0)$ ; la terza ripete la prima, la seconda no. Rango 2.

Esercizio 2. Senza calcolare le soluzioni, dire quante soluzioni hanno i due sistemi, che differiscono solo nell’ultimo termine noto; poi risolvere quello compatibile.

\text{(a)} \begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 2x + 4y + z = 5 \\ 3x + 6y = 6 \end{cases} \qquad \text{(b)} \begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 2x + 4y + z = 5 \\ 3x + 6y = 7 \end{cases}

Soluzione

Con $c = 6$ o $c = 7$ come ultimo termine noto: $E_{21}(-2)$ dà $(0, 0, 3 \mid 3)$ , $E_{31}(-3)$ dà $(0, 0, 3 \mid c - 3)$ , poi $E_{32}(-1)$ dà $(0, 0, 0 \mid c - 6)$ .

\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & c - 6 \end{array}\right]

$\operatorname{rg}(A) = 2$ in entrambi i casi.

(a), $c = 6$ : ultima riga nulla, $\operatorname{rg}([A \mid \vec{b}]) = 2 = \operatorname{rg}(A) < 3$ . Infinite soluzioni, $3 - 2 = 1$ parametro.
(b), $c = 7$ : ultima riga $(0, 0, 0 \mid 1)$ , $\operatorname{rg}([A \mid \vec{b}]) = 3 \neq 2$ . Incompatibile.

Soluzioni di (a): $3z = 3$ dà $z = 1$ ; la colonna di $y$ è senza pivot, $y = t$ ; dalla prima $x = 1 - 2t + 1 = 2 - 2t$ .

(x, y, z) = (2 - 2t,\ t,\ 1), \qquad t \in \mathbb{R}

Verifica: $2 - 2t + 2t - 1 = 1$ ; $4 - 4t + 4t + 1 = 5$ ; $6 - 6t + 6t = 6$ .

Esercizio 3. Dato il sistema

\begin{cases} x + y + kz = 1 \\ x + ky + z = 1 \\ kx + y + z = 1 \end{cases} \qquad (k \in \mathbb{R})

a) stabilire per quali $k$ è compatibile e per quali ha infinite soluzioni; b) trovare le soluzioni per i valori di $k$ che lo rendono compatibile.

Soluzione

a) $E_{21}(-1)$ : $R_2 - R_1 = (0,\ k - 1,\ 1 - k \mid 0)$ . $E_{31}(-k)$ : $R_3 - kR_1 = (0,\ 1 - k,\ 1 - k^2 \mid 1 - k)$ . Poi $E_{32}(1)$ : $R_3 + R_2 = (0,\ 0,\ (1-k) + (1-k^2) \mid 1 - k)$ , e $(1 - k) + (1 - k)(1 + k) = (1 - k)(2 + k)$ .

\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & k & 1 \\ 0 & k-1 & 1-k & 0 \\ 0 & 0 & (1-k)(2+k) & 1-k \end{array}\right]

Valori critici: $k = 1$ (si annullano due pivot) e $k = -2$ .

$k \neq 1, -2$ : $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}([A \mid \vec{b}]) = 3$ , unica soluzione.
$k = 1$ : seconda e terza riga nulle. $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}([A \mid \vec{b}]) = 1 < 3$ , infinite soluzioni con due parametri.
$k = -2$ : terza riga $(0, 0, 0 \mid 3)$ . $\operatorname{rg}(A) = 2$ , $\operatorname{rg}([A \mid \vec{b}]) = 3$ : incompatibile.

Compatibile per $k \neq -2$ ; infinite soluzioni solo per $k = 1$ .

b) $k = 1$ : resta $x + y + z = 1$ . Colonne di $y$ e $z$ senza pivot: $y = t$ , $z = s$ , $x = 1 - t - s$ .

$k \neq 1, -2$ : dalla terza $z = \frac{1-k}{(1-k)(2+k)} = \frac{1}{k+2}$ (si semplifica perché $k \neq 1$ ). Dalla seconda, divisa per $k - 1 \neq 0$ : $y - z = 0$ , quindi $y = \frac{1}{k+2}$ . Dalla prima: $x = 1 - \frac{1}{k+2} - \frac{k}{k+2} = \frac{1}{k+2}$ .

(x, y, z) = \left(\frac{1}{k+2},\ \frac{1}{k+2},\ \frac{1}{k+2}\right)

Verifica con $k = 0$ : $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ soddisfa $x + y = 1$ , $x + z = 1$ , $y + z = 1$ . Per simmetria ogni equazione dà $(k + 2) \cdot \frac{1}{k+2} = 1$ .

6Errori tipici

Confrontare il rango con il numero di equazioni invece che di incognite: nell’esempio 4 della prof ci sono 4 equazioni ma $n = 3$ .
Calcolare $\operatorname{rg}([A \mid \vec{b}])$ e dimenticare $\operatorname{rg}(A)$ , o viceversa: servono tutti e due, e si leggono dalla stessa riduzione.
Dividere per un’espressione col parametro (es. $D_3\!\left(\frac{1}{2(1-k)}\right)$ ) senza aver escluso il valore che la annulla.
Trattare il caso critico usando la soluzione generale: per $k = 1$ la formula non vale, si risostituisce $k = 1$ nella matrice a scalini.
Fermarsi a ” $\operatorname{rg}(A) = 2$ per $k = -1$ ” senza guardare l’ultima colonna: è lì che si decide fra infinite soluzioni e incompatibile.
Dire “due soluzioni” o “un numero finito di soluzioni”: per un sistema lineare sono $0$ , $1$ o infinite.
Non fattorizzare: $-2a^2 + 2a$ va scritto $2a(1-a)$ , altrimenti si perde uno dei due valori critici.

7Domande

Come si definisce il rango di una matrice? Perché è ben definito?
Perché il rango non può superare né il numero di righe né il numero di colonne?
Enuncia il teorema di Rouché-Capelli, con i due casi finali.
Perché $\operatorname{rg}([A \mid \vec{b}])$ può essere al massimo $\operatorname{rg}(A) + 1$ ?
Cosa significa, sulla matrice a scalini, che $\operatorname{rg}(A) < \operatorname{rg}([A \mid \vec{b}])$ ?
Da quanti parametri dipendono le soluzioni di un sistema compatibile con $n$ incognite e rango $r$ ?
Può un sistema lineare avere esattamente due soluzioni? Perché?
Quali sono i passi per discutere un sistema lineare con un parametro?