Formulario vettori, rette e piani · GAL

Tutte le formule della geometria nello spazio fatte a lezione (appunti della prof, p. 2-27, e capitolo 1 della dispensa Postinghel), quelle che servono per il foglio 1 del tutorato e per il primo parziale. Argomento di Geometria e Algebra Lineare. La teoria sta in Vettori geometrici, Rette e piani nello spazio, Posizioni reciproche nello spazio, Distanze nello spazio. La strategia per gli esercizi sta in Ripasso foglio 1.

Convenzione: $\vec{v} = (v_1, v_2, v_3)$ , punti $A = (x_A, y_A, z_A)$ , piani con normale $\vec{n} = (a,b,c)$ .

1Vettori

cosa	formula
coordinate di un segmento orientato	$\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A,\ y_B - y_A,\ z_B - z_A)$
somma	$\vec{v} + \vec{w} = (v_1 + w_1,\ v_2 + w_2,\ v_3 + w_3)$
prodotto per scalare	$\lambda\vec{v} = (\lambda v_1,\ \lambda v_2,\ \lambda v_3)$
prodotto scalare, coordinate	$\vec{v} \cdot \vec{w} = v_1 w_1 + v_2 w_2 + v_3 w_3$
prodotto scalare, geometrico	$\vec{v} \cdot \vec{w} = \lvert\vec{v}\rvert\,\lvert\vec{w}\rvert\cos\theta$ , con $0 \le \theta \le \pi$
modulo	$\lvert\vec{v}\rvert = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2} = \sqrt{\vec{v} \cdot \vec{v}}$
angolo fra due vettori	$\cos\theta = \dfrac{\vec{v} \cdot \vec{w}}{\lvert\vec{v}\rvert\,\lvert\vec{w}\rvert}$
ortogonalità	$\vec{v} \perp \vec{w} \iff \vec{v} \cdot \vec{w} = 0$
parallelismo	$\vec{v} \parallel \vec{w} \iff \vec{w} = \lambda\vec{v}$ per qualche $\lambda \neq 0$
normalizzazione	$\vec{e} = \dfrac{\vec{v}}{\lvert\vec{v}\rvert} = \dfrac{1}{\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}}(v_1,v_2,v_3)$
proiezione su un versore	$pr_{\vec{e}}(\vec{v}) = (\vec{v} \cdot \vec{e})\,\vec{e}$
proiezione su un vettore	$pr_{\vec{w}}(\vec{v}) = \dfrac{\vec{v} \cdot \vec{w}}{\lvert\vec{w}\rvert^2}\,\vec{w}$

Proprietà del prodotto scalare da citare nelle domande di teoria:

\vec{v} \cdot \vec{w} = \vec{w} \cdot \vec{v} \qquad (\lambda\vec{v}) \cdot \vec{w} = \lambda(\vec{v} \cdot \vec{w}) \qquad \vec{v} \cdot (\vec{u} + \vec{w}) = \vec{v} \cdot \vec{u} + \vec{v} \cdot \vec{w} \qquad \vec{v} \cdot \vec{v} = \lvert\vec{v}\rvert^2 \ge 0

2Piano

cosa	formula
equazione cartesiana	$ax + by + cz + d = 0$ , e $\vec{n} = (a,b,c)$ è normale al piano
piano per $P$ con normale $\vec{n}$	$a(x - x_P) + b(y - y_P) + c(z - z_P) = 0$
equazioni parametriche	$\begin{cases} x = x_A + t v_1 + s w_1 \\ y = y_A + t v_2 + s w_2 \\ z = z_A + t v_3 + s w_3\end{cases}$ con $\vec{v}, \vec{w}$ non paralleli
piano per tre punti $A,B,C$	parametriche da $A$ con direzioni $\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{AC}$ , poi si eliminano $t$ e $s$ (metodo della prof); in alternativa la normale $\vec{n}=(a,b,c)$ risolve $\vec{n} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$ , $\vec{n} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$
proiezione di $P$ su un piano	retta per $P$ con direzionale $\vec{n}$ , intersecata col piano: il punto è la proiezione $H$

La lettura al volo: i coefficienti di $x,y,z$ sono le componenti di una normale. Il termine noto $d$ sposta il piano parallelamente a sé stesso.

3Retta

cosa	formula
equazioni parametriche	$\begin{cases} x = x_A + t v_1 \\ y = y_A + t v_2 \\ z = z_A + t v_3 \end{cases}$ , $t \in \mathbb{R}$
equazioni cartesiane	$\begin{cases} ax + by + cz + d = 0 \\ a'x + b'y + c'z + d' = 0\end{cases}$ , intersezione di due piani
retta per $A$ e $B$	direzione $\vec{v} = \overrightarrow{AB}$ , poi parametriche da $A$
da parametriche a cartesiane	si ricava $t$ da un’equazione e lo si sostituisce nelle altre due
da cartesiane a parametriche	si risolve il sistema ponendo una variabile uguale a $t$
direzione da due cartesiane	metodo del corso: si pone una variabile uguale a $t$ e i coefficienti di $t$ nelle parametriche sono $\vec{v}$ ; in alternativa $\vec{v}$ risolve $\vec{v} \cdot \vec{n} = 0$ e $\vec{v} \cdot \vec{n}' = 0$ , con $\vec{n}, \vec{n}'$ normali dei due piani

4Fascio di piani

Data $r$ come intersezione dei piani $\pi: ax+by+cz+d=0$ e $\pi': a'x+b'y+c'z+d'=0$ , il fascio di sostegno $r$ è

\lambda(ax + by + cz + d) + \mu(a'x + b'y + c'z + d') = 0, \qquad (\lambda,\mu) \neq (0,0)

Ogni piano che contiene $r$ si ottiene per una coppia $(\lambda,\mu)$ . In pratica, come fa la prof, si impone la condizione (passaggio per un punto, parallelismo), si pone $\lambda = 1$ e si ricava $\mu$ . Se la condizione dà $\lambda = 0$ , si pone $\mu = 1$ : il piano cercato è $\pi'$ .

5Posizioni reciproche

Rette $r, r'$ con direzioni $\vec{v}, \vec{w}$ . Piani $\pi, \pi'$ con normali $\vec{n}, \vec{n}'$ .

coppia	parallele	perpendicolari	incidenti
retta, retta	$\vec{v} \parallel \vec{w}$	$\vec{v} \cdot \vec{w} = 0$	il sistema delle due ha soluzione
piano, piano	$\vec{n} \parallel \vec{n}'$	$\vec{n} \cdot \vec{n}' = 0$	se non paralleli, si tagliano in una retta
retta, piano	$\vec{n} \cdot \vec{v} = 0$	$\vec{n} \parallel \vec{v}$	$\vec{n} \cdot \vec{v} \neq 0$ , un punto solo

Due trappole ricorrenti:

$\vec{n} \cdot \vec{v} = 0$ dice soltanto che la retta non buca il piano. Può essere parallela o contenuta: si distingue sostituendo un punto della retta nell’equazione del piano.
$\vec{v} \parallel \vec{w}$ vale anche per due rette coincidenti: si distingue prendendo un punto della prima e controllando se sta sulla seconda.

Due rette sghembe sono quelle che non sono né parallele né incidenti. Complanari significa parallele oppure incidenti, e le sghembe sono esattamente le non complanari.

6Distanze

cosa	formula o metodo
punto, punto	$d(A,B) = \sqrt{(x_A - x_B)^2 + (y_A - y_B)^2 + (z_A - z_B)^2}$
punto, piano	$d(P, \pi) = \dfrac{\lvert a x_P + b y_P + c z_P + d \rvert}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$
punto, retta	si trova il piede $H$ della perpendicolare, poi $d(P,r) = d(P,H)$
retta, retta incidenti	$0$
retta, retta parallele	si prende $P \in r$ e si calcola $d(P, r')$
retta, retta sghembe	perpendicolare comune, oppure piano del fascio
retta, piano paralleli	si prende $P \in r$ e si calcola $d(P, \pi)$
piano, piano paralleli	si prende $P \in \pi$ e si calcola $d(P, \pi')$

Punto-retta, metodo del punto generico. Si scrive $Q(t)$ su $r$ dalle parametriche, si impone $\overrightarrow{PQ(t)} \cdot \vec{v} = 0$ , si ricava $t_0$ , si pone $H = Q(t_0)$ e si calcola $d(P,H)$ .

Punto-retta, metodo del piano ausiliario. Si scrive il piano per $P$ perpendicolare a $r$ , cioè con normale $\vec{v}$ , si interseca con $r$ per avere $H$ , si calcola $d(P,H)$ .

Sghembe, perpendicolare comune. Punto generico $P(t)$ su $r$ e $Q(s)$ su $r'$ , con due parametri diversi, poi

\begin{cases} \overrightarrow{P(t)Q(s)} \cdot \vec{v} = 0 \\ \overrightarrow{P(t)Q(s)} \cdot \vec{w} = 0 \end{cases}

Si risolve in $t$ e $s$ , si ottengono $P = P(t_0)$ e $Q = Q(s_0)$ , e la distanza è $d(P,Q)$ .

Sghembe, piano del fascio. Si scrive il fascio di sostegno $r$ , si impone $\vec{n} \cdot \vec{w} = 0$ per trovare il piano $\pi$ parallelo a $r'$ , poi si prende un punto di $r'$ e si calcola la sua distanza da $\pi$ con la formula punto-piano.

7Fuori programma per ora

Il prodotto vettoriale arriva al capitolo 5 della dispensa, dopo il determinante, e sul foglio 1 non va usato:

\vec{v} \times \vec{w} = (v_2 w_3 - v_3 w_2,\ v_3 w_1 - v_1 w_3,\ v_1 w_2 - v_2 w_1)

Dà un vettore ortogonale a entrambi. Torna comodo come controllo dopo aver risolto il sistema di ortogonalità: se la direzione che hai trovato non è proporzionale a $\vec{v} \times \vec{w}$ , c’è un errore di conto da qualche parte.