Rette e piani nello spazio · GAL

Argomento di Geometria e Algebra Lineare. Fatto a lezione in L2. Fonte: appunti della prof p. 9-13 (equazioni di piani e rette) e p. 14-15 (fascio di piani); esercitazione del tutor, es. 1 e es. 5; dispensa Postinghel, sezioni 1.2.1-1.2.3. Usa tutto di Vettori geometrici: coordinate di $\overrightarrow{AB}$ , prodotto scalare, ortogonalità. Il seguito è Posizioni reciproche nello spazio.

Per l’esame

Saper enunciare: vettore normale, piano come luogo dei $Q$ con $\overrightarrow{PQ} \cdot \vec{n} = 0$ , equazione cartesiana e parametriche del piano, parametriche e cartesiane della retta, vettore direzionale, fascio di piani di sostegno $r$ e la sua equazione.
Saper dimostrare: da $\overrightarrow{PQ} \cdot \vec{n} = 0$ all’equazione $ax + by + cz + d = 0$ ; perché ogni piano del fascio contiene $r$ .
Saper fare: piano per un punto con normale data, piano per tre punti, retta per due punti in parametriche e cartesiane, passaggio fra parametriche e cartesiane nei due sensi, piano che contiene una retta e un punto (fascio), stabilire se un piano contiene una retta.
Dove esce: teoria del foglio 1, domanda 1.6 (fascio, con esempio d’uso); esercizi 1.9, 1.10, 1.12 e il primo passo di quasi tutti gli altri.

Cosa sono le equazioni di un piano o di una retta. Condizioni sulle coordinate $(x, y, z)$ di un punto che sono vere per tutti e soli i punti di quell’oggetto. Un punto sta sul piano se e solo se le sue coordinate soddisfano le equazioni.

Ogni oggetto ha due tipi di equazioni:

                 cartesiane                         parametriche
        (condizione da verificare)         (ricetta per costruire i punti)

piano    ax + by + cz + d = 0                x = xA + t v1 + s w1
         una equazione, nessun parametro     y = yA + t v2 + s w2     2 parametri t, s
                                             z = zA + t v3 + s w3

retta    ax  + by  + cz  + d  = 0            x = xA + t v1
         a'x + b'y + c'z + d' = 0            y = yA + t v2            1 parametro t
         due equazioni: due piani            z = zA + t v3

                   parametriche  --(elimino i parametri)-->  cartesiane

Il numero di parametri è la dimensione: su un piano ci si muove in due direzioni indipendenti ( $t$ e $s$ ), su una retta in una sola ( $t$ ).

1Definizioni

1.1Vettore normale

Vettore normale a un piano. La prof: “sia $\vec{n}$ vettore normale a $\pi$ , ossia un vettore ortogonale a $\pi$ ”. Vuol dire un vettore $\vec{n} \neq \vec{0}$ ortogonale a ogni vettore $\overrightarrow{PQ}$ con $P$ e $Q$ in $\pi$ .

1.2Piano per un punto con vettore normale

Un piano $\pi$ è individuato da un suo punto $P$ e da un vettore normale $\vec{n}$ . È il luogo dei punti $Q = (x, y, z)$ tali che $\overrightarrow{PQ}$ è ortogonale a $\vec{n}$ :

\pi = \{\,Q : \overrightarrow{PQ} \cdot \vec{n} = 0\,\}

L’idea: da $P$ posso andare in qualunque direzione “orizzontale” rispetto a $\vec{n}$ e resto sul piano. Appena mi alzo o mi abbasso, $\overrightarrow{PQ}$ ha una componente lungo $\vec{n}$ e il prodotto scalare smette di essere zero.

1.3Equazione cartesiana del piano

Equazione cartesiana. Un’equazione della forma

ax + by + cz + d = 0 \qquad (a, b, c) \neq (0, 0, 0)

definisce un piano. $(a, b, c)$ sono le coordinate di un vettore normale al piano.

Esempio: $P = (1, 2, 3)$ sta sul piano $x + 2y - z - 2 = 0$ perché $1 + 4 - 3 - 2 = 0$ . $Q = (0, 0, 0)$ non ci sta, perché $0 + 0 - 0 - 2 = -2 \neq 0$ .

Non è unica. Moltiplicando tutta l’equazione per uno scalare $\neq 0$ si ottiene un’altra equazione dello stesso piano: $x + 2y - z - 2 = 0$ e $2x + 4y - 2z - 4 = 0$ descrivono lo stesso insieme di punti.

1.4Equazioni parametriche del piano

Tre punti $A$ , $B$ , $C$ distinti e non allineati individuano un unico piano. Con $\vec{v} = \overrightarrow{AB} = (v_1, v_2, v_3)$ e $\vec{w} = \overrightarrow{AC} = (w_1, w_2, w_3)$ , un punto $Q$ sta sul piano se e solo se da $A$ ci si arriva camminando un po’ lungo $\vec{v}$ e un po’ lungo $\vec{w}$ :

\exists\, t, s \in \mathbb{R} : \overrightarrow{AQ} = t\,\vec{v} + s\,\vec{w}

In coordinate, con $Q = (x, y, z)$ e $\overrightarrow{AQ} = (x - x_A,\ y - y_A,\ z - z_A)$ :

\begin{cases} x = x_A + t\,v_1 + s\,w_1 \\ y = y_A + t\,v_2 + s\,w_2 \\ z = z_A + t\,v_3 + s\,w_3 \end{cases} \qquad t, s \in \mathbb{R}

Sono le equazioni parametriche del piano, con parametri $(t, s)$ . Ogni coppia $(t, s)$ dà un punto del piano, e ogni punto del piano viene da almeno una coppia.

Perché “non allineati”. Se $A$ , $B$ , $C$ stanno su una retta, $\vec{v}$ e $\vec{w}$ hanno la stessa direzione, e $t\vec{v} + s\vec{w}$ resta sempre su quella retta: non si esce in una seconda direzione e il piano non viene fuori. Per tre punti allineati passano infiniti piani.

Anche le parametriche non sono uniche: cambiando i tre punti scelti sul piano cambiano i numeri, ma l’insieme descritto è lo stesso.

1.5Equazioni parametriche della retta

Una retta $r$ è individuata da due suoi punti distinti $A$ e $B$ . Il vettore $\vec{v} = \overrightarrow{AB}$ è un vettore direzionale di $r$ . Un punto $Q$ sta su $r$ se e solo se $\overrightarrow{AQ}$ ha la stessa direzione di $\vec{v}$ :

\exists\, t \in \mathbb{R} : \overrightarrow{AQ} = t\,\vec{v}

In coordinate, con $\vec{v} = (x_B - x_A,\ y_B - y_A,\ z_B - z_A) = (v_1, v_2, v_3)$ :

\begin{cases} x = x_A + t\,v_1 \\ y = y_A + t\,v_2 \\ z = z_A + t\,v_3 \end{cases} \qquad t \in \mathbb{R}

$t = 0$ dà $A$ , $t = 1$ dà $B$ , $t$ fra $0$ e $1$ i punti del segmento, $t < 0$ i punti dalla parte di $A$ opposta a $B$ .

1.6Equazioni cartesiane della retta

Una retta nello spazio è l’intersezione di due piani distinti che la contengono:

r : \begin{cases} ax + by + cz + d = 0 \\ a'x + b'y + c'z + d' = 0 \end{cases}

Una sola equazione non basta: $ax + by + cz + d = 0$ nello spazio è un piano, non una retta. Serve una seconda condizione che tagli il piano lungo una linea. I due piani non sono unici: l’asse $x$ è $\{y = 0,\ z = 0\}$ ma anche $\{y = 0,\ y + z = 0\}$ .

Le cartesiane si ottengono dalle parametriche eliminando $t$ : ricavo $t$ da un’equazione e lo sostituisco nelle altre due.

1.7Fascio di piani

Fascio di piani di sostegno $r$ . L’insieme di tutti i piani che contengono una retta $r$ data. Sono infiniti, come le pagine di un libro aperto attorno alla costa.

2Enunciati

2.1Equazione cartesiana dal punto e dalla normale

Dimostrazione

$Q = (x, y, z)$ sta sul piano se e solo se $\overrightarrow{PQ} \cdot \vec{n} = 0$ . In coordinate $\overrightarrow{PQ} = (x - x_P,\ y - y_P,\ z - z_P)$ , e il prodotto scalare in coordinate è la somma dei prodotti delle componenti:

\overrightarrow{PQ} \cdot \vec{n} = a(x - x_P) + b(y - y_P) + c(z - z_P)

Sviluppando, i termini con $x_P, y_P, z_P$ sono numeri fissi e si raccolgono in $d$ . $\blacksquare$

La conseguenza da ricordare: i coefficienti di $x$ , $y$ , $z$ sono le coordinate di un vettore normale. Lo si legge al volo dall’equazione: $2x - 3y - z - 3 = 0$ ha normale $(2, -3, -1)$ .

2.2Fascio di piani

Perché contiene $r$ . Un punto di $r$ soddisfa entrambe le equazioni, quindi rende nulle tutte e due le parentesi. Allora $\lambda \cdot 0 + \mu \cdot 0 = 0$ , qualunque siano $\lambda$ e $\mu$ : il punto sta su ogni piano del fascio.

Perché $(\lambda, \mu) \neq (0, 0)$ . Con $\lambda = \mu = 0$ l’equazione diventa $0 = 0$ , vera per tutti i punti dello spazio: non è un piano.

3Metodo

3.1Piano per un punto con normale data

Scrivi $ax + by + cz + d = 0$ mettendo le coordinate di $\vec{n}$ al posto di $a, b, c$ .
Sostituisci le coordinate di $P$ e ricava $d$ .

Esempio (dispensa): $P = (1, -1, 2)$ , $\vec{n} = (2, -3, -1)$ . Da $2x - 3y - z + d = 0$ e $2(1) - 3(-1) - 2 + d = 0$ viene $d = -3$ . Piano: $2x - 3y - z - 3 = 0$ .

3.2Piano per tre punti

Calcola $\vec{v} = \overrightarrow{AB}$ e $\vec{w} = \overrightarrow{AC}$ (fine meno inizio).
Scrivi le parametriche partendo da $A$ .
Per la cartesiana elimina $t$ e $s$ : ricava i parametri da due equazioni e sostituiscili nella terza.
Verifica: i tre punti devono soddisfare la cartesiana, e la normale $(a, b, c)$ deve avere prodotto scalare nullo con $\vec{v}$ e con $\vec{w}$ .

L’esempio della prof ( $A(0,0,1)$ , $B(-2,-1,0)$ , $C(1,0,0)$ ) è in Esempi svolti a lezione.

3.3Retta per due punti

$\vec{v} = \overrightarrow{AB}$ .
Parametriche: $x = x_A + t v_1$ , $y = y_A + t v_2$ , $z = z_A + t v_3$ .
Cartesiane: ricava $t$ dall’equazione più semplice e sostituisci nelle altre due. Restano due equazioni senza $t$ .
Verifica: $A$ e $B$ devono soddisfare entrambe le cartesiane.

3.4Da cartesiane a parametriche

È il passaggio inverso, e il metodo del corso è sempre lo stesso: poni una delle variabili uguale al parametro ( $y = t$ , oppure $z = t$ , oppure $x = s$ ) e ricava le altre due dal sistema. I coefficienti di $t$ danno il vettore direzionale, i termini noti un punto della retta.

Scegli come parametro una variabile che compare in entrambe le equazioni, così ricavi le altre due senza passaggi in più. Se una variabile manca del tutto dalle cartesiane (per esempio $\{z = 4,\ x + y + 2 = 0\}$ ) non la puoi usare come parametro, perché è già fissata: lì il parametro va messo su $x$ o su $y$ .

Il risultato non è unico: parametri diversi danno parametriche diverse della stessa retta (esempio del tutor sotto).

3.5Piano che contiene una retta e un punto fuori

Scrivi il fascio $\lambda(\dots) + \mu(\dots) = 0$ con le due cartesiane di $r$ .
Sostituisci le coordinate di $P$ : viene una relazione lineare fra $\lambda$ e $\mu$ .
Dai un valore non nullo a uno dei due (la prof pone $\lambda = 1$ ) e ricava l’altro.
Rimetti $\lambda$ e $\mu$ nel fascio e semplifica.
Verifica: $P$ e due punti di $r$ devono soddisfare l’equazione.

Prima controlla che $P$ non stia su $r$ : se ci sta, al punto 2 esce $0 = 0$ e ogni piano del fascio va bene, quindi il piano non è determinato. Se al punto 2 esce una relazione come $\lambda = 0$ , allora non puoi porre $\lambda = 1$ : poni $\mu = 1$ , e il piano cercato è il secondo dei due piani di partenza.

3.6Stabilire se un piano contiene una retta

Due strade, entrambe viste nell’esercitazione del tutor.

Sistema. Metti a sistema le due cartesiane di $r$ con l’equazione del piano. Se il sistema ha infinite soluzioni che formano tutta $r$ (la terza equazione non aggiunge vincoli), il piano contiene $r$ . Se ha una sola soluzione, il piano taglia $r$ in un punto. Se non ne ha, piano e retta sono paralleli e disgiunti.
Due punti. Prendi due punti distinti di $r$ e sostituiscili nel piano. Se entrambi lo soddisfano il piano contiene $r$ , perché per due punti passa una sola retta.

3.7Proiezione ortogonale di un punto su un piano

Scrivi la retta per il punto con vettore direzionale uguale alla normale del piano.
Intersecala col piano: sostituisci le parametriche nell’equazione cartesiana e ricava $t$ .
Il punto trovato $H$ è la proiezione. Verifica: $H$ sta sul piano e $\overrightarrow{PH}$ è proporzionale a $\vec{n}$ .

4Esempi svolti a lezione

Prof, L2, appunti p. 11-12: piano per

A(0, 0, 1)

B(-2, -1, 0)

C(1, 0, 0)

Vettori.

\vec{v} = \overrightarrow{AB} = (-2 - 0,\ -1 - 0,\ 0 - 1) = (-2, -1, -1)

\vec{w} = \overrightarrow{AC} = (1 - 0,\ 0 - 0,\ 0 - 1) = (1, 0, -1)

Parametriche (partendo da $A$ ):

\begin{cases} x = -2t + s \\ y = -t \\ z = 1 - t - s \end{cases}

Elimino i parametri, come la prof: prima $t$ , poi $s$ . Dalla seconda $t = -y$ ; nella prima e nella terza diventa $x = 2y + s$ e $z = 1 + y - s$ . Dalla prima $s = x - 2y$ , che sostituisco nella terza:

z = 1 + y - (x - 2y) = 1 - x + 3y

Porto tutto a sinistra:

x - 3y + z - 1 = 0

Verifica sui punti. $A$ : $0 - 0 + 1 - 1 = 0$ . $B$ : $-2 + 3 + 0 - 1 = 0$ . $C$ : $1 - 0 + 0 - 1 = 0$ .

Verifica sulla normale. $\vec{n} = (1, -3, 1)$ . $\vec{n} \cdot \vec{v} = -2 + 3 - 1 = 0$ e $\vec{n} \cdot \vec{w} = 1 + 0 - 1 = 0$ : è davvero ortogonale al piano.

Prof, L2, appunti p. 13, svolto dal tutor (esercitazione 1, es. 1): retta per

A(-1, 2, 1)

B(1, 0, 2)

La prof l’ha lasciato come esercizio, il tutor l’ha svolto in esercitazione.

Vettore direzionale. $\vec{v} = \overrightarrow{AB} = (1 - (-1),\ 0 - 2,\ 2 - 1) = (2, -2, 1)$ .

Parametriche.

\begin{cases} x = -1 + 2t \\ y = 2 - 2t \\ z = 1 + t \end{cases}

Cartesiane. Dalla terza $t = z - 1$ . Sostituisco nelle altre due:

$x = -1 + 2(z - 1) = 2z - 3$ , cioè $x - 2z + 3 = 0$
$y = 2 - 2(z - 1) = 4 - 2z$ , cioè $y + 2z - 4 = 0$

r : \begin{cases} x - 2z + 3 = 0 \\ y + 2z - 4 = 0 \end{cases}

Verifica. $A$ : $-1 - 2 + 3 = 0$ e $2 + 2 - 4 = 0$ . $B$ : $1 - 4 + 3 = 0$ e $0 + 4 - 4 = 0$ .

L’osservazione del tutor: si torna alle parametriche? Dalle cartesiane pongo $x = s$ . Dalla prima $2z = s + 3$ , cioè $z = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}s$ . Nella seconda $y + s + 3 - 4 = 0$ , cioè $y = 1 - s$ :

\begin{cases} x = s \\ y = 1 - s \\ z = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}s \end{cases}

Non sono le parametriche di partenza, eppure non c’è nessun errore: parametriche diverse possono descrivere la stessa retta. Il punto per $s = 0$ è $\left(0, 1, \frac{3}{2}\right)$ , che sulla prima parametrizzazione corrisponde a $t = \frac{1}{2}$ ; il direzionale $\left(1, -1, \frac{1}{2}\right)$ è $\frac{1}{2}(2, -2, 1)$ , proporzionale a $\vec{v}$ . Cambiano il punto di partenza e la “velocità” con cui si percorre la retta, non la retta.

Nota: sommando le due cartesiane si ottiene $x + y - 1 = 0$ , un altro piano che contiene la stessa retta. La retta dell’esempio del fascio qui sotto, $\{x + y - 1 = 0,\ y + 2z - 4 = 0\}$ , è proprio questa.

Prof, L2, appunti p. 14-15: piano per

r : \{x + y - 1 = 0,\ y + 2z - 4 = 0\}

P(0, -1, 2)

$P$ non sta su $r$ : $0 - 1 - 1 = -2 \neq 0$ .

Fascio.

\lambda(x + y - 1) + \mu(y + 2z - 4) = 0

Passaggio per $P$ .

\lambda(0 - 1 - 1) + \mu(-1 + 4 - 4) = 0 \quad\Longrightarrow\quad -2\lambda - \mu = 0 \quad\Longrightarrow\quad \mu = -2\lambda

Scelgo un valore non nullo per $\lambda$ , $\lambda = 1$ , quindi $\mu = -2$ :

(x + y - 1) - 2(y + 2z - 4) = 0 \quad\Longrightarrow\quad x - y - 4z + 7 = 0

Verifica. $P$ : $0 + 1 - 8 + 7 = 0$ . Due punti di $r$ sono $(-1, 2, 1)$ e $(1, 0, 2)$ (dall’esempio sopra): $-1 - 2 - 4 + 7 = 0$ e $1 - 0 - 8 + 7 = 0$ .

Tutor, esercitazione 1, es. 5: tre piani, un fascio e una proiezione

$\pi_1 : z - 4 = 0$ , $\pi_2 : x + y + 2 = 0$ , $\pi_3 : 4x + 4y - z + 12 = 0$ , e $r = \pi_1 \cap \pi_2$ .

1) $\pi_3$ contiene $r$ ? Per definizione $r$ è fatta dai punti che stanno su $\pi_1$ e su $\pi_2$ :

r : \begin{cases} z - 4 = 0 \\ x + y + 2 = 0 \end{cases}

$r$ sta su $\pi_3$ se tutti i suoi punti soddisfano anche l’equazione di $\pi_3$ . Studio il sistema delle tre equazioni:

\begin{cases} z = 4 \\ x = -y - 2 \\ x = \frac{1}{4}(-4y + z - 12) \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} z = 4 \\ x = -y - 2 \\ x = \frac{1}{4}(-4y - 8) = -y - 2 \end{cases}

La terza equazione è diventata uguale alla seconda: non aggiunge vincoli, il sistema ha infinite soluzioni e sono tutti i punti di $r$ . Quindi $\pi_3$ contiene $r$ .

Controllo con due punti di $r$ : $y = 0$ dà $(-2, 0, 4)$ e $4(-2) + 0 - 4 + 12 = 0$ ; $y = -2$ dà $(0, -2, 4)$ e $0 - 8 - 4 + 12 = 0$ . E infatti $\pi_3$ è un piano del fascio: $4(x + y + 2) - (z - 4) = 4x + 4y - z + 12$ .

2) Piano $\pi_4$ che contiene $r$ e passa per $O = (0, 0, 0)$ . Fascio di sostegno $r$ :

\lambda(z - 4) + \mu(x + y + 2) = 0

Passaggio per $O$ : $-4\lambda + 2\mu = 0$ , quindi $\mu = 2\lambda$ . Con $\lambda = 1$ e $\mu = 2$ :

\pi_4 : (z - 4) + 2(x + y + 2) = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2x + 2y + z = 0

Verifica: $O$ la soddisfa; $(-2, 0, 4)$ dà $-4 + 0 + 4 = 0$ ; $(0, -2, 4)$ dà $0 - 4 + 4 = 0$ .

3) Proiezione ortogonale di $O$ su $\pi_2$ . Si prende la retta $r'$ per $O$ ortogonale a $\pi_2$ : il suo direzionale è proporzionale alla normale $\vec{n} = (1, 1, 0)$ .

r' : \begin{cases} x = t \\ y = t \\ z = 0 \end{cases}

La proiezione è $H = r' \cap \pi_2$ . Sostituisco in $x + y + 2 = 0$ : $t + t + 2 = 0$ , quindi $t = -1$ e

H = (-1, -1, 0)

Verifica: $-1 - 1 + 2 = 0$ , e $\overrightarrow{OH} = (-1, -1, 0) = -\vec{n}$ è proprio lungo la normale.

5Esercizi tipo esame

Esercizio 1. Siano $A = (2, -1, 0)$ e $B = (0, 1, 3)$ . a) Scrivi equazioni parametriche e cartesiane della retta $r$ per $A$ e $B$ . b) Stabilisci se $C = (4, -3, -3)$ e $D = (1, 0, 1)$ stanno su $r$ .

Soluzione

a) $\vec{v} = \overrightarrow{AB} = (0 - 2,\ 1 - (-1),\ 3 - 0) = (-2, 2, 3)$ . Parametriche da $A$ :

r : \begin{cases} x = 2 - 2t \\ y = -1 + 2t \\ z = 3t \end{cases}

Cartesiane: dalla terza $t = \frac{z}{3}$ . Sostituisco:

$x = 2 - \frac{2}{3}z$ , moltiplico per $3$ : $3x + 2z - 6 = 0$
$y = -1 + \frac{2}{3}z$ , moltiplico per $3$ : $3y - 2z + 3 = 0$

Verifica: $A$ dà $6 + 0 - 6 = 0$ e $-3 - 0 + 3 = 0$ ; $B$ dà $0 + 6 - 6 = 0$ e $3 - 6 + 3 = 0$ .

b) Per $C$ cerco un $t$ che funzioni in tutte e tre le parametriche. Dalla prima $2 - 2t = 4$ , cioè $t = -1$ . Controllo le altre: $y = -1 - 2 = -3$ e $z = -3$ . Tornano entrambe, quindi $C \in r$ (conferma con le cartesiane: $12 - 6 - 6 = 0$ e $-9 + 6 + 3 = 0$ ).

Per $D$ : dalla prima $2 - 2t = 1$ , cioè $t = \frac{1}{2}$ . Allora $y = -1 + 1 = 0$ , che torna, ma $z = \frac{3}{2} \neq 1$ . $D \notin r$ . Un solo $t$ deve andare bene per tutte e tre le coordinate: due su tre non bastano.

Esercizio 2. Trova un’equazione cartesiana del piano per $A = (1, 0, 0)$ , $B = (0, 2, 0)$ , $C = (0, 0, 3)$ , partendo dalle parametriche.

Soluzione

Vettori. $\vec{v} = \overrightarrow{AB} = (-1, 2, 0)$ e $\vec{w} = \overrightarrow{AC} = (-1, 0, 3)$ . Non sono proporzionali (la seconda coordinata di $\vec{w}$ è $0$ , quella di $\vec{v}$ no), quindi i tre punti non sono allineati.

Parametriche da $A$ :

\begin{cases} x = 1 - t - s \\ y = 2t \\ z = 3s \end{cases}

Elimino. $t = \frac{y}{2}$ e $s = \frac{z}{3}$ . Nella prima: $x = 1 - \frac{y}{2} - \frac{z}{3}$ . Moltiplico per $6$ :

6x + 3y + 2z - 6 = 0

Verifica. $A$ : $6 - 6 = 0$ . $B$ : $6 - 6 = 0$ . $C$ : $6 - 6 = 0$ . Normale $\vec{n} = (6, 3, 2)$ : $\vec{n} \cdot \vec{v} = -6 + 6 + 0 = 0$ e $\vec{n} \cdot \vec{w} = -6 + 0 + 6 = 0$ .

Esercizio 3. Sia $r : \{x - y + 1 = 0,\ 2y - z = 0\}$ e $P = (1, 1, 1)$ . Trova il piano che contiene $r$ e $P$ .

Soluzione

$P \notin r$ : nella prima equazione $1 - 1 + 1 = 1 \neq 0$ .

Fascio. $\lambda(x - y + 1) + \mu(2y - z) = 0$ .

Passaggio per $P$ . $\lambda(1 - 1 + 1) + \mu(2 - 1) = \lambda + \mu = 0$ , quindi $\mu = -\lambda$ . Con $\lambda = 1$ , $\mu = -1$ :

(x - y + 1) - (2y - z) = 0 \quad\Longrightarrow\quad x - 3y + z + 1 = 0

Verifica. $P$ : $1 - 3 + 1 + 1 = 0$ . Due punti di $r$ (pongo $y = 0$ e $y = 1$ ): $(-1, 0, 0)$ dà $-1 + 1 = 0$ ; $(0, 1, 2)$ dà $0 - 3 + 2 + 1 = 0$ .

Esercizio 4. Siano $\pi : 2x - y + 3z - 5 = 0$ e $P = (1, 2, -1)$ . a) Trova il piano per $P$ parallelo a $\pi$ . b) Trova parametriche e cartesiane della retta per $P$ ortogonale a $\pi$ . c) Trova la proiezione ortogonale di $P$ su $\pi$ .

Soluzione

$P \notin \pi$ : $2 - 2 - 3 - 5 = -8 \neq 0$ .

a) Un piano parallelo a $\pi$ ha la stessa normale, quindi la forma $2x - y + 3z + d = 0$ . Passaggio per $P$ : $2 - 2 - 3 + d = 0$ , cioè $d = 3$ :

2x - y + 3z + 3 = 0

b) Una retta ortogonale a $\pi$ ha direzionale proporzionale a $\vec{n} = (2, -1, 3)$ :

\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 2 - t \\ z = -1 + 3t \end{cases}

Cartesiane: dalla seconda $t = 2 - y$ . Allora $x = 1 + 2(2 - y) = 5 - 2y$ e $z = -1 + 3(2 - y) = 5 - 3y$ :

\begin{cases} x + 2y - 5 = 0 \\ 3y + z - 5 = 0 \end{cases}

Verifica con $P$ : $1 + 4 - 5 = 0$ e $6 - 1 - 5 = 0$ .

c) Interseco la retta di b) con $\pi$ :

2(1 + 2t) - (2 - t) + 3(-1 + 3t) - 5 = 2 + 4t - 2 + t - 3 + 9t - 5 = 14t - 8 = 0 \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{4}{7}

H = \left(1 + \frac{8}{7},\ 2 - \frac{4}{7},\ -1 + \frac{12}{7}\right) = \left(\frac{15}{7}, \frac{10}{7}, \frac{5}{7}\right)

Verifica: $\frac{30}{7} - \frac{10}{7} + \frac{15}{7} - 5 = \frac{35}{7} - 5 = 0$ .

6Errori tipici

Scrivere una retta nello spazio con una sola equazione cartesiana: quella è un piano.
Leggere la normale da un’equazione non ancora portata nella forma $ax + by + cz + d = 0$ : $y + z = -2$ ha normale $(0, 1, 1)$ , e $x$ ha coefficiente $0$ , non manca.
Nel fascio porre $\lambda = \mu = 0$ , oppure dimenticare di controllare che il punto non stia già sulla retta.
Concludere che un punto sta sulla retta perché due coordinate su tre tornano con lo stesso $t$ .
Pensare di aver sbagliato perché le proprie parametriche o la propria cartesiana sono diverse da quelle del tutor: prima controlla se una è multipla dell’altra o se descrivono gli stessi punti.
Per il piano per tre punti, non controllare che non siano allineati.

7Domande

Cosa rappresentano i coefficienti $a, b, c$ nell’equazione $ax + by + cz + d = 0$ ?
Scrivi la condizione vettoriale che definisce il piano per $P$ ortogonale a $\vec{n}$ .
Perché per scrivere le parametriche di un piano servono tre punti non allineati?
Quanti parametri hanno le equazioni parametriche di un piano? E di una retta?
Perché nello spazio una retta ha bisogno di due equazioni cartesiane?
Come si passa dalle equazioni parametriche a quelle cartesiane?
L’equazione cartesiana di un piano è unica? Perché?
Cos’è il fascio di piani di sostegno una retta $r$ e qual è la sua equazione?
Perché nel fascio non si può prendere $(\lambda, \mu) = (0, 0)$ ?
Come trovi il piano che contiene una retta $r$ e un punto $P$ fuori da $r$ ?
Come verifichi che un’equazione cartesiana trovata è davvero quella del piano per $A$ , $B$ , $C$ ?