Vettori geometrici · GAL

Argomento di Geometria e Algebra Lineare. Fatto a lezione in L1 e all’inizio di L2. Fonte: appunti della prof p. 2-7 (L1: segmenti orientati, operazioni, proiezione) e p. 8-9 (L2: coordinate e modulo); per i dettagli la dispensa Postinghel, sezioni 1.1.1-1.1.5. Vocabolario: Linguaggio matematico. Il seguito è Rette e piani nello spazio.

Per l’esame

Saper enunciare: segmento orientato ed equivalenza, vettore geometrico, somma e sue proprietà, prodotto per scalare, versore e normalizzazione, prodotto scalare (con l’angolo e in coordinate), proiezione ortogonale su un versore e su un vettore.
Saper dimostrare: la normalizzazione è un versore; la proprietà (1) del prodotto per scalare; la proiezione ortogonale nei casi acuto e ottuso; il prodotto scalare in coordinate (nove termini, sei nulli); il modulo con Pitagora due volte; la distributiva in coordinate.
Saper fare: coordinate di $\overrightarrow{AB}$ , modulo, angolo fra due vettori, test di ortogonalità, proiezione di un vettore su un altro, normalizzazione.
Dove esce: teoria del foglio 1, domande 1.1-1.5 e 1.7; nella parte pratica è il primo passo di ogni esercizio su rette e piani.

Il filo dell’argomento, in ordine:

segmento orientato AB          una freccia con inizio e fine precisi
      |
      v  raggruppo quelli con stessa direzione, verso, modulo
vettore geometrico             la freccia "libera", senza punto di partenza
      |
      v
operazioni                     somma, prodotto per scalare, prodotto scalare
      |
      v
proiezione ortogonale          l'ombra di v sulla direzione di w
      |
      v  fisso un riferimento Oxyz
coordinate                     v = (v1, v2, v3): le operazioni diventano conti

Notazione. A lezione i vettori si scrivono con la lettera sottolineata ( $\underline{v}$ ), la dispensa li scrive in grassetto ( $\mathbf{v}$ ). Qui uso $\vec{v}$ . Sono tre modi di scrivere la stessa cosa.

1Definizioni

1.1Riferimento cartesiano e punti

Sistema di riferimento cartesiano ortogonale $Oxyz$ . Un punto $O$ , detto origine, e tre rette per $O$ perpendicolari fra loro, gli assi $x$ , $y$ , $z$ . Gli assi sono orientati con la regola della mano destra: pollice sul verso positivo di $x$ , indice su $y$ , medio su $z$ .

Fissato il riferimento, ogni punto dello spazio è una terna di numeri reali, le sue coordinate: $A = (x_A, y_A, z_A)$ . L’origine è $O = (0, 0, 0)$ .

1.2Segmenti orientati

Segmento orientato. Dati due punti $A$ e $B$ dello spazio, il segmento orientato $\overrightarrow{AB}$ è il segmento con estremo iniziale $A$ ed estremo finale $B$ . Si disegna come una freccia da $A$ a $B$ .

$\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{BA}$ sono lo stesso segmento ma segmenti orientati diversi: cambia quale estremo viene prima.

Segmenti orientati equivalenti. $\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{CD}$ sono equivalenti se hanno:

stessa direzione, cioè stanno su rette parallele;
stesso verso, cioè puntano dalla stessa parte;
stesso modulo, cioè la stessa lunghezza.

Detto in un altro modo: esiste una traslazione che porta uno a coincidere con l’altro. Direzione e verso sono due cose diverse: due frecce sulla stessa retta che puntano in parti opposte hanno la stessa direzione ma verso opposto, quindi non sono equivalenti.

1.3Vettori geometrici

Vettore geometrico. Una classe di equivalenza di segmenti orientati, cioè l’insieme di tutti i segmenti orientati equivalenti fra loro.

L’idea: una freccia con direzione, verso e lunghezza fissati, ma senza un punto di partenza fissato. Ogni segmento orientato della classe è un rappresentante del vettore. Se $\overrightarrow{AB}$ rappresenta $\vec{v}$ si scrive, con un abuso di notazione, $\vec{v} = \overrightarrow{AB}$ . Se $\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{CD}$ sono equivalenti, $\vec{v} = \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ .

$V^3$ . L’insieme di tutti i vettori geometrici dello spazio tridimensionale.

Modulo. $|\vec{v}|$ è la lunghezza di un qualsiasi rappresentante. È sempre $|\vec{v}| \geq 0$ .

Vettore nullo. $\vec{0}$ è la classe dei segmenti orientati della forma $\overrightarrow{AA}$ , con inizio e fine coincidenti. Ha modulo $0$ , mentre direzione e verso sono indeterminati. È l’unico vettore di modulo zero.

Versore. Un vettore di modulo $1$ .

1.4Somma

Somma. Dati $\vec{v}$ e $\vec{w}$ , si scelgono i rappresentanti in modo che la fine del primo coincida con l’inizio del secondo: $\vec{v} = \overrightarrow{AB}$ , $\vec{w} = \overrightarrow{BC}$ . Allora

\vec{v} + \vec{w} := \overrightarrow{AC}

È la regola punta-coda: attacco la coda di $\vec{w}$ alla punta di $\vec{v}$ , e la somma va dalla coda del primo alla punta del secondo. Equivalente è la regola del parallelogramma: faccio partire $\vec{v}$ e $\vec{w}$ dallo stesso punto, completo il parallelogramma, e la somma è la diagonale che parte da quel punto.

Opposto. Dato $\vec{v} \neq \vec{0}$ , l’opposto $-\vec{v}$ è il vettore con stessa direzione, stesso modulo e verso opposto. L’opposto di $\vec{0}$ è $\vec{0}$ . Se $\vec{v} = \overrightarrow{AB}$ allora $-\vec{v} = \overrightarrow{BA}$ .

1.5Prodotto per uno scalare

Uno scalare è un numero reale, per distinguerlo dai vettori.

Prodotto per scalare. Dati $\vec{v} \neq \vec{0}$ e $\lambda \in \mathbb{R}$ , $\lambda \neq 0$ , il vettore $\lambda\vec{v}$ ha:

la stessa direzione di $\vec{v}$ ;
modulo $|\lambda|\,|\vec{v}|$ ;
verso concorde a $\vec{v}$ se $\lambda > 0$ , discorde se $\lambda < 0$ .

Se $\vec{v} = \vec{0}$ oppure $\lambda = 0$ , si pone $\lambda\vec{v} = \vec{0}$ .

Normalizzazione. Dato $\vec{v} \neq \vec{0}$ , la normalizzazione di $\vec{v}$ è

\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} := \frac{1}{|\vec{v}|}\,\vec{v}

È il versore con stessa direzione e stesso verso di $\vec{v}$ : tengo la freccia e la riporto a lunghezza $1$ . Serve $\vec{v} \neq \vec{0}$ perché si divide per $|\vec{v}|$ .

1.6Prodotto scalare

Prodotto scalare. Dati $\vec{v}$ e $\vec{w}$ , si prendono due rappresentanti con lo stesso estremo iniziale, $\vec{v} = \overrightarrow{AB}$ e $\vec{w} = \overrightarrow{AC}$ , e si chiama $\theta$ l’angolo fra loro ( $0 \leq \theta \leq \pi$ ). Allora

\vec{v} \cdot \vec{w} := |\vec{v}|\,|\vec{w}|\cos\theta

Il risultato è un numero, non un vettore: da qui il nome. Il segno dice com’è l’angolo:

$\theta$	$\cos\theta$	$\vec{v} \cdot \vec{w}$
$0 \leq \theta < \frac{\pi}{2}$ (acuto)	$> 0$	positivo
$\theta = \frac{\pi}{2}$ (retto)	$0$	zero
$\frac{\pi}{2} < \theta \leq \pi$ (ottuso)	$< 0$	negativo

Vettori ortogonali. $\vec{v}$ e $\vec{w}$ si dicono ortogonali (o perpendicolari, $\vec{v} \perp \vec{w}$ ) se formano un angolo retto.

1.7Proiezione ortogonale

Proiezione ortogonale di $\vec{v}$ su $\vec{w}$ . Il vettore $pr_{\vec{w}}(\vec{v})$ con la direzione di $\vec{w}$ che si ottiene “facendo cadere” la punta di $\vec{v}$ perpendicolarmente sulla retta di $\vec{w}$ . È l’ombra di $\vec{v}$ su quella retta con la luce che arriva a perpendicolo. La direzione è quella di $\vec{w}$ per costruzione; verso e modulo vanno calcolati, ed è quello che fa la Proposizione più sotto.

1.8Vettori in coordinate

Coordinate di un vettore. Fissato $Oxyz$ , se $\vec{v} = \overrightarrow{AB}$ con $A = (x_A, y_A, z_A)$ e $B = (x_B, y_B, z_B)$ :

\vec{v} = (v_1, v_2, v_3) := (x_B - x_A,\ y_B - y_A,\ z_B - z_A)

Fine meno inizio. Il risultato non dipende dal rappresentante scelto: due segmenti orientati equivalenti danno le stesse differenze. Se il rappresentante parte dall’origine, $\vec{v} = \overrightarrow{OC}$ , le coordinate di $\vec{v}$ sono proprio le coordinate del punto $C$ .

Esempio: $A = (1, 2, 0)$ , $B = (3, -1, 4)$ danno $\overrightarrow{AB} = (3-1,\ -1-2,\ 4-0) = (2, -3, 4)$ .

Versori degli assi. $\vec{\imath}$ , $\vec{\jmath}$ , $\vec{k}$ sono i versori dei tre assi, rappresentati da $O$ verso $(1,0,0)$ , $(0,1,0)$ , $(0,0,1)$ . In coordinate $\vec{\imath} = (1,0,0)$ , $\vec{\jmath} = (0,1,0)$ , $\vec{k} = (0,0,1)$ .

Decomposizione sugli assi. $\vec{v} = (v_1, v_2, v_3)$ se e solo se

\vec{v} = v_1\vec{\imath} + v_2\vec{\jmath} + v_3\vec{k}

cioè $\vec{v}$ è la somma di tre vettori paralleli agli assi. I $v_i$ sono scalari, gli $\vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k}$ vettori.

$\vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k}$ sono ortonormali: versori perpendicolari a due a due. Dalla definizione di prodotto scalare:

\vec{\imath} \cdot \vec{\jmath} = \vec{\imath} \cdot \vec{k} = \vec{\jmath} \cdot \vec{k} = 0 \qquad \vec{\imath} \cdot \vec{\imath} = \vec{\jmath} \cdot \vec{\jmath} = \vec{k} \cdot \vec{k} = 1

2Enunciati

2.1Proprietà della somma

La commutativa si vede sul parallelogramma: andare prima lungo $\vec{v}$ e poi lungo $\vec{w}$ , o prima lungo $\vec{w}$ e poi lungo $\vec{v}$ , porta alla stessa punta. L’associativa dice che con tre vettori in fila non importa quale coppia sommi per prima: la freccia dalla coda del primo alla punta dell’ultimo è sempre la stessa. Per questo si può scrivere $\vec{v} + \vec{w} + \vec{u}$ senza parentesi.

2.2Proprietà del prodotto per scalare

La 4 è geometrica: il triangolo fatto da $\vec{v}$ , $\vec{w}$ , $\vec{v}+\vec{w}$ , ingrandito di un fattore $\lambda$ , resta un triangolo simile. I suoi lati sono $\lambda\vec{v}$ , $\lambda\vec{w}$ e $\lambda(\vec{v}+\vec{w})$ , e il terzo lato è la somma dei primi due.

Dimostrazione della 1 (per

\vec{v} \neq \vec{0}

\lambda, \mu \neq 0

)

Due vettori sono uguali se hanno stessa direzione, stesso verso e stesso modulo. Li controllo uno per uno.

Direzione. Moltiplicare per uno scalare non cambia la direzione, quindi $\lambda(\mu\vec{v})$ e $(\lambda\mu)\vec{v}$ hanno entrambi la direzione di $\vec{v}$ .
Verso. $\lambda(\mu\vec{v})$ gira il verso una volta per ogni scalare negativo fra $\lambda$ e $\mu$ . $(\lambda\mu)\vec{v}$ lo gira se $\lambda\mu < 0$ , cioè se esattamente uno dei due è negativo. Nei due casi il verso finale coincide.
Modulo. $|\lambda(\mu\vec{v})| = |\lambda|\,|\mu\vec{v}| = |\lambda|\,|\mu|\,|\vec{v}| = |\lambda\mu|\,|\vec{v}| = |(\lambda\mu)\vec{v}|$ .

Se uno fra $\vec{v}$ , $\lambda$ , $\mu$ è nullo, entrambi i membri valgono $\vec{0}$ . $\blacksquare$

2.3La normalizzazione è un versore

Dimostrazione

$\frac{1}{|\vec{v}|}$ è uno scalare positivo, quindi per la definizione di prodotto per scalare

\left|\frac{1}{|\vec{v}|}\,\vec{v}\right| = \left|\frac{1}{|\vec{v}|}\right| |\vec{v}| = \frac{1}{|\vec{v}|}\,|\vec{v}| = 1

Il verso resta quello di $\vec{v}$ perché lo scalare è positivo. $\blacksquare$

2.4Ortogonalità e prodotto scalare

Dimostrazione

( $\Rightarrow$ ) Se sono perpendicolari $\theta = \frac{\pi}{2}$ , quindi $\cos\theta = 0$ e $\vec{v} \cdot \vec{w} = |\vec{v}|\,|\vec{w}| \cdot 0 = 0$ .

( $\Leftarrow$ ) Se $|\vec{v}|\,|\vec{w}|\cos\theta = 0$ con $|\vec{v}| \neq 0$ e $|\vec{w}| \neq 0$ , per la legge di annullamento del prodotto deve essere $\cos\theta = 0$ . Con $0 \leq \theta \leq \pi$ l’unica possibilità è $\theta = \frac{\pi}{2}$ . $\blacksquare$

L’ipotesi “non nulli” serve solo per il ritorno: con $\vec{v} = \vec{0}$ il prodotto scalare è $0$ qualunque sia $\vec{w}$ , ma l’angolo non è nemmeno definito.

2.5Proprietà del prodotto scalare

La 3 ha un più fra i due prodotti a destra, non un per: $\vec{v} \cdot \vec{w}$ e $\vec{v} \cdot \vec{u}$ sono due numeri che si sommano. La 4 viene da $\theta = 0$ : un vettore forma angolo nullo con sé stesso e $\cos 0 = 1$ , quindi $\vec{v} \cdot \vec{v} = |\vec{v}|\,|\vec{v}|$ . È il modo per ricavare il modulo dal prodotto scalare: $|\vec{v}| = \sqrt{\vec{v} \cdot \vec{v}}$ .

2.6Proiezione ortogonale

Come si legge la 1. $\vec{v} \cdot \vec{e}$ è un numero con segno, e $\vec{e}$ dà la direzione. Il numero dice di quanto allungare $\vec{e}$ e, col segno, se girarlo. Siccome $|\vec{e}| = 1$ , vale $\vec{v} \cdot \vec{e} = |\vec{v}|\cos\theta$ , che è proprio il cateto del triangolo rettangolo con ipotenusa $\vec{v}$ .

Dimostrazione

Punto 1. La proiezione ha la direzione di $\vec{e}$ per costruzione. Resta da trovare verso e modulo. Poiché $|\vec{e}| = 1$ , $\vec{v} \cdot \vec{e} = |\vec{v}|\cos\theta$ , quindi la tesi è che la proiezione sia $(|\vec{v}|\cos\theta)\,\vec{e}$ . Tre casi:

$\theta$ retto. La punta di $\vec{v}$ cade sull’inizio, la proiezione è $\vec{0}$ . E infatti $\cos\theta = 0$ dà $(\vec{v} \cdot \vec{e})\,\vec{e} = \vec{0}$ .
$\theta$ acuto (o nullo). La proiezione ha lo stesso verso di $\vec{e}$ e, per la trigonometria del triangolo rettangolo, lunghezza $|\vec{v}|\cos\theta$ . Qui $\cos\theta > 0$ , quindi $(|\vec{v}|\cos\theta)\,\vec{e}$ ha proprio quel verso e quel modulo.
$\theta$ ottuso. La proiezione ha verso opposto a $\vec{e}$ , cioè il verso di $-\vec{e}$ , e lunghezza $|\vec{v}|\cos(\pi - \theta) = -|\vec{v}|\cos\theta$ , che è positiva perché $\cos\theta < 0$ . Quindi la proiezione è

(-|\vec{v}|\cos\theta)(-\vec{e}) = (|\vec{v}|\cos\theta)\,\vec{e}

In tutti e tre i casi torna la stessa formula.

Punto 2. Proiettare su $\vec{w}$ o sul suo versore $\frac{\vec{w}}{|\vec{w}|}$ è la stessa cosa, perché conta solo la direzione. Applico il punto 1 con $\vec{e} = \frac{\vec{w}}{|\vec{w}|}$ e uso la proprietà 2 del prodotto scalare per portare fuori gli scalari:

\left(\vec{v} \cdot \frac{\vec{w}}{|\vec{w}|}\right)\frac{\vec{w}}{|\vec{w}|} = \frac{\vec{v} \cdot \vec{w}}{|\vec{w}|}\cdot\frac{1}{|\vec{w}|}\,\vec{w} = \frac{\vec{v} \cdot \vec{w}}{|\vec{w}|^2}\,\vec{w} \qquad \blacksquare

I tre casi limite $\theta = 0$ , $\frac{\pi}{2}$ , $\pi$ sono l’esercizio che la prof ha lasciato a lezione: sono svolti in Esempi svolti a lezione.

2.7Coordinate col prodotto scalare

Dimostrazione

Uso la decomposizione e la distributiva:

\vec{v} \cdot \vec{\imath} = (v_1\vec{\imath} + v_2\vec{\jmath} + v_3\vec{k}) \cdot \vec{\imath} = v_1\,\underbrace{\vec{\imath} \cdot \vec{\imath}}_{1} + v_2\,\underbrace{\vec{\jmath} \cdot \vec{\imath}}_{0} + v_3\,\underbrace{\vec{k} \cdot \vec{\imath}}_{0} = v_1

Per $\vec{\jmath}$ e $\vec{k}$ è identico. $\blacksquare$

Messa insieme alla proiezione: $v_1\vec{\imath} = (\vec{v} \cdot \vec{\imath})\,\vec{\imath}$ è la proiezione di $\vec{v}$ sull’asse $x$ . Le tre coordinate sono le tre ombre di $\vec{v}$ sugli assi.

2.8Operazioni in coordinate

Si fanno componente per componente. Con queste formule le proprietà della somma e del prodotto per scalare diventano proprietà dei numeri reali, e si verificano coordinata per coordinata.

Niente angoli: bastano le coordinate. È la formula che si usa negli esercizi, mentre quella col coseno serve a interpretare il risultato o a trovare l’angolo.

Dimostrazione

Scrivo i due vettori decomposti e sviluppo con la distributiva, ottenendo nove termini del tipo $v_a w_b\,(\text{versore} \cdot \text{versore})$ :

\vec{v} \cdot \vec{w} = (v_1\vec{\imath} + v_2\vec{\jmath} + v_3\vec{k}) \cdot (w_1\vec{\imath} + w_2\vec{\jmath} + w_3\vec{k})

I sei termini con versori diversi contengono $\vec{\imath} \cdot \vec{\jmath}$ , $\vec{\imath} \cdot \vec{k}$ o $\vec{\jmath} \cdot \vec{k}$ , che valgono $0$ . Restano i tre con lo stesso versore, che vale $1$ :

= v_1 w_1\,\vec{\imath} \cdot \vec{\imath} + v_2 w_2\,\vec{\jmath} \cdot \vec{\jmath} + v_3 w_3\,\vec{k} \cdot \vec{k} = v_1 w_1 + v_2 w_2 + v_3 w_3 \qquad \blacksquare

2.9Modulo in coordinate

Dimostrazione (Pitagora due volte)

Sia $\vec{u} = v_1\vec{\imath} + v_2\vec{\jmath}$ , la parte di $\vec{v}$ che sta nel piano $xy$ .

Primo Pitagora, nel piano $xy$ . $v_1\vec{\imath}$ e $v_2\vec{\jmath}$ sono perpendicolari e $\vec{u}$ è l’ipotenusa:

|\vec{u}|^2 = |v_1\vec{\imath}|^2 + |v_2\vec{\jmath}|^2 = v_1^2 + v_2^2

Secondo Pitagora, in verticale. $\vec{v} = \vec{u} + v_3\vec{k}$ , e $v_3\vec{k}$ è verticale quindi perpendicolare a $\vec{u}$ che sta nel piano orizzontale. $\vec{v}$ è l’ipotenusa:

|\vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + |v_3\vec{k}|^2 = v_1^2 + v_2^2 + v_3^2

Estraggo la radice, che ha senso perché $|\vec{v}| \geq 0$ . $\blacksquare$

Stesso risultato più in fretta con la proprietà 4: $|\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v} = v_1^2 + v_2^2 + v_3^2$ .

Di conseguenza la normalizzazione in coordinate è

\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \frac{1}{\sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}}\,(v_1, v_2, v_3)

3Metodo

Coordinate di $\overrightarrow{AB}$ . Coordinate di $B$ meno coordinate di $A$ , nell’ordine. Sbagliare l’ordine dà $-\vec{v}$ .

Angolo fra due vettori. Si mettono insieme le due formule del prodotto scalare:

\cos\theta = \frac{\vec{v} \cdot \vec{w}}{|\vec{v}|\,|\vec{w}|} = \frac{v_1 w_1 + v_2 w_2 + v_3 w_3}{\sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}\,\sqrt{w_1^2 + w_2^2 + w_3^2}}

Esempio: $\vec{v} = (1, 1, 0)$ , $\vec{w} = (1, 0, 0)$ . $\vec{v} \cdot \vec{w} = 1$ , $|\vec{v}| = \sqrt{2}$ , $|\vec{w}| = 1$ , quindi $\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ e $\theta = \frac{\pi}{4}$ .

Verificare se due vettori sono perpendicolari. Prodotto scalare in coordinate: se fa $0$ (e sono non nulli) sono perpendicolari. Esempio: $(2, -1, 3) \cdot (1, 5, 1) = 2 - 5 + 3 = 0$ , quindi sono perpendicolari.

Proiettare $\vec{v}$ su $\vec{w}$ .

Calcola $\vec{v} \cdot \vec{w}$ e $|\vec{w}|^2 = \vec{w} \cdot \vec{w}$ (niente radici).
Il coefficiente è $\frac{\vec{v} \cdot \vec{w}}{|\vec{w}|^2}$ .
Moltiplica $\vec{w}$ per quel numero.

Esempio: $\vec{v} = (3, 4, 0)$ su $\vec{w} = (1, 0, 0)$ . $\vec{v} \cdot \vec{w} = 3$ , $|\vec{w}|^2 = 1$ , proiezione $(3, 0, 0)$ . Torna: è l’ombra sull’asse $x$ .

Normalizzare. Calcola il modulo con la radice e dividi ogni coordinata per quel numero. Controllo veloce: la somma dei quadrati del risultato deve fare $1$ .

4Esempi svolti a lezione

Prof, L1, appunti p. 7: cosa succede alla proiezione se

\theta = 0

\frac{\pi}{2}

\pi

Si usa $pr_{\vec{e}}(\vec{v}) = (\vec{v} \cdot \vec{e})\,\vec{e}$ con $\vec{v} \cdot \vec{e} = |\vec{v}|\cos\theta$ , perché $|\vec{e}| = 1$ .

$\theta = 0$ : $\cos 0 = 1$ , quindi $\vec{v} \cdot \vec{e} = |\vec{v}|$ e $pr_{\vec{e}}(\vec{v}) = |\vec{v}|\,\vec{e} = \vec{v}$ . $\vec{v}$ ha già direzione e verso di $\vec{e}$ : l’ombra di una freccia già sdraiata sulla retta è la freccia stessa.
$\theta = \frac{\pi}{2}$ : $\cos\frac{\pi}{2} = 0$ , quindi $pr_{\vec{e}}(\vec{v}) = \vec{0}$ . Una freccia perpendicolare alla retta non fa ombra.
$\theta = \pi$ : $\cos\pi = -1$ , quindi $\vec{v} \cdot \vec{e} = -|\vec{v}|$ e $pr_{\vec{e}}(\vec{v}) = -|\vec{v}|\,\vec{e} = \vec{v}$ . Anche qui la proiezione è $\vec{v}$ : $\vec{v}$ sta sulla retta di $\vec{e}$ ma punta dall’altra parte, e il segno meno del coseno è proprio quello che gira $\vec{e}$ nel verso di $\vec{v}$ .

In due casi su tre la proiezione è $\vec{v}$ stesso: succede ogni volta che $\vec{v}$ è parallelo a $\vec{e}$ , qualunque sia il verso.

Prof, L1, appunti p. 4:

\lambda\vec{v}

con

\lambda = 2

\lambda = -2

$2\vec{v}$ ha la direzione di $\vec{v}$ , modulo $|2|\,|\vec{v}| = 2|\vec{v}|$ e verso concorde perché $2 > 0$ . $-2\vec{v}$ ha ancora la direzione di $\vec{v}$ e modulo $|-2|\,|\vec{v}| = 2|\vec{v}|$ , ma verso discorde perché $-2 < 0$ . I due vettori hanno la stessa lunghezza e sono uno l’opposto dell’altro: $-2\vec{v} = -(2\vec{v})$ .

Nel resto del capitolo la prof ha dato solo dimostrazioni, che stanno tutte in Enunciati. Nell’esercitazione del tutor non ci sono esercizi solo sui vettori: i vettori entrano in tutti gli esercizi su rette e piani.

5Esercizi tipo esame

Esercizio 1. Siano $A = (1, 0, 2)$ , $B = (3, -1, 4)$ , $C = (3, 2, 1)$ . a) Calcola $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{AC}$ , $\overrightarrow{BC}$ e i loro moduli. b) Il triangolo $ABC$ è rettangolo in $A$ ? c) Trova l’angolo del triangolo nel vertice $B$ .

Soluzione

a) Fine meno inizio:

\overrightarrow{AB} = (3-1,\ -1-0,\ 4-2) = (2, -1, 2) \qquad \overrightarrow{AC} = (3-1,\ 2-0,\ 1-2) = (2, 2, -1)

\overrightarrow{BC} = (3-3,\ 2-(-1),\ 1-4) = (0, 3, -3)

Moduli: $|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{4+1+4} = 3$ , $|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{4+4+1} = 3$ , $|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{0+9+9} = 3\sqrt{2}$ .

b) È rettangolo in $A$ se $\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AC}$ . Sono non nulli, quindi basta il prodotto scalare:

\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 2 \cdot 2 + (-1) \cdot 2 + 2 \cdot (-1) = 4 - 2 - 2 = 0

Sì, è rettangolo in $A$ . Controllo con Pitagora: $3^2 + 3^2 = 18 = (3\sqrt{2})^2$ .

c) L’angolo in $B$ è fra i due lati che partono da $B$ , cioè fra $\overrightarrow{BA}$ e $\overrightarrow{BC}$ (stesso estremo iniziale, come vuole la definizione). $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB} = (-2, 1, -2)$ .

\cos\theta = \frac{\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}|\,|\overrightarrow{BC}|} = \frac{0 + 3 + 6}{3 \cdot 3\sqrt{2}} = \frac{9}{9\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \quad\Longrightarrow\quad \theta = \frac{\pi}{4}

Torna: il triangolo è rettangolo e isoscele ( $|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{AC}|$ ), quindi gli altri due angoli valgono $\frac{\pi}{4}$ . Usando $\overrightarrow{AB}$ al posto di $\overrightarrow{BA}$ sarebbe uscito $\frac{3\pi}{4}$ , che è l’angolo esterno.

Esercizio 2. Siano $\vec{v} = (2, -1, 3)$ e $\vec{w} = (1, 1, -1)$ . Calcola $pr_{\vec{w}}(\vec{v})$ , di’ se ha lo stesso verso di $\vec{w}$ e verifica che $\vec{v} - pr_{\vec{w}}(\vec{v})$ è ortogonale a $\vec{w}$ .

Soluzione

Ingredienti. $\vec{v} \cdot \vec{w} = 2 - 1 - 3 = -2$ e $|\vec{w}|^2 = 1 + 1 + 1 = 3$ (niente radice).

Proiezione.

pr_{\vec{w}}(\vec{v}) = \frac{\vec{v} \cdot \vec{w}}{|\vec{w}|^2}\,\vec{w} = -\frac{2}{3}(1, 1, -1) = \left(-\frac{2}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right)

Il coefficiente $-\frac{2}{3}$ è negativo, quindi il verso è opposto a $\vec{w}$ : l’angolo fra $\vec{v}$ e $\vec{w}$ è ottuso, come dice il segno di $\vec{v} \cdot \vec{w}$ .

Verifica. $\vec{v} - pr_{\vec{w}}(\vec{v}) = \left(2 + \frac{2}{3},\ -1 + \frac{2}{3},\ 3 - \frac{2}{3}\right) = \left(\frac{8}{3}, -\frac{1}{3}, \frac{7}{3}\right)$ , e

\left(\frac{8}{3}, -\frac{1}{3}, \frac{7}{3}\right) \cdot (1, 1, -1) = \frac{8 - 1 - 7}{3} = 0

È il cateto perpendicolare del triangolo rettangolo: $\vec{v}$ si spezza in un pezzo lungo $\vec{w}$ e uno ortogonale.

Esercizio 3. Sia $\vec{v} = (2, -1, 2)$ . Trova i versori paralleli a $\vec{v}$ . Poi trova $k \in \mathbb{R}$ tale che $(1, k, 2)$ sia ortogonale a $(3, -1, k)$ .

Soluzione

Versori. $|\vec{v}| = \sqrt{4 + 1 + 4} = 3$ . La normalizzazione è $\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \left(\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right)$ . “Parallelo” non fissa il verso, quindi c’è anche l’opposto $\left(-\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, -\frac{2}{3}\right)$ . Sono due. Controllo: $\frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{4}{9} = 1$ .

Ortogonalità. Impongo il prodotto scalare nullo:

(1, k, 2) \cdot (3, -1, k) = 3 - k + 2k = 3 + k = 0 \quad\Longrightarrow\quad k = -3

Verifica: $(1, -3, 2) \cdot (3, -1, -3) = 3 + 3 - 6 = 0$ . Per $k = -3$ nessuno dei due vettori è nullo, quindi sono davvero perpendicolari.

Esercizio 4 (teoria, sul modello della 1.7). Verifica in coordinate che per ogni $\vec{v}, \vec{w} \in V^3$ e $\lambda \in \mathbb{R}$ vale $(\lambda\vec{v}) \cdot \vec{w} = \lambda(\vec{v} \cdot \vec{w})$ .

Soluzione

Siano $\vec{v} = (v_1, v_2, v_3)$ e $\vec{w} = (w_1, w_2, w_3)$ . Sviluppo i due membri separatamente.

Membro sinistro. $\lambda\vec{v} = (\lambda v_1, \lambda v_2, \lambda v_3)$ , quindi

(\lambda\vec{v}) \cdot \vec{w} = (\lambda v_1) w_1 + (\lambda v_2) w_2 + (\lambda v_3) w_3

Membro destro.

\lambda(\vec{v} \cdot \vec{w}) = \lambda(v_1 w_1 + v_2 w_2 + v_3 w_3) = \lambda v_1 w_1 + \lambda v_2 w_2 + \lambda v_3 w_3

dove ho usato la distributiva dei numeri reali.

Confronto. Per l’associativa del prodotto fra reali $(\lambda v_i) w_i = \lambda v_i w_i$ , quindi i due membri coincidono termine per termine. $\blacksquare$

Lo schema è quello da usare per la 1.7: coordinate, due membri sviluppati a parte, proprietà dei numeri reali citate per nome.

6Errori tipici

Scrivere $\overrightarrow{AB}$ come inizio meno fine: esce $-\overrightarrow{AB}$ , e ogni prodotto scalare successivo cambia segno.
Dimenticare il valore assoluto nel modulo di $\lambda\vec{v}$ : è $|\lambda|\,|\vec{v}|$ , perché il segno di $\lambda$ finisce nel verso.
Calcolare l’angolo di un triangolo con due vettori che non partono dallo stesso vertice: esce l’angolo supplementare.
Dire “ortogonali” da $\vec{v} \cdot \vec{w} = 0$ senza controllare che nessuno dei due sia $\vec{0}$ .
Proiettare con $|\vec{w}|$ al denominatore invece di $|\vec{w}|^2$ : nella formula su un vettore qualsiasi il modulo compare due volte, una per normalizzare il prodotto scalare e una per normalizzare la direzione.
Normalizzare $\vec{0}$ : non si può, si dividerebbe per zero.

7Domande

Quali tre proprietà devono avere in comune due segmenti orientati per essere equivalenti?
Cos’è un vettore geometrico, in termini di segmenti orientati?
Che direzione e che verso ha il vettore nullo?
Come si costruisce $\vec{v} + \vec{w}$ con la regola punta-coda?
Che modulo e che verso ha $\lambda\vec{v}$ quando $\lambda < 0$ ?
Come si normalizza un vettore, e perché il risultato ha modulo $1$ ?
Qual è la definizione del prodotto scalare con l’angolo, e che tipo di oggetto restituisce?
Da cosa riconosci che due vettori non nulli sono ortogonali?
Enuncia la proprietà distributiva del prodotto scalare.
Quanto vale la proiezione ortogonale di $\vec{v}$ su un vettore $\vec{w} \neq \vec{0}$ ?
Perché la formula $(\vec{v} \cdot \vec{e})\,\vec{e}$ funziona anche quando $\theta$ è ottuso?
Perché nella dimostrazione del prodotto scalare in coordinate spariscono sei termini su nove?
Come si dimostra $|\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}$ con Pitagora?