Distanze nello spazio · GAL

Argomento di Geometria e Algebra Lineare. Fatto a lezione in L3, alla fine del capitolo di geometria. Fonte: appunti della prof p. 22-23 (punto-punto, punto-piano), p. 23-25 (punto-retta, due metodi), p. 25-27 (retta-retta); esercitazione del tutor, es. 6; dimostrazione della formula punto-piano nella dispensa, Proposizione 5, p. 27-28 (sezione 1.2.5), a cui rimanda la prof. Prima: Posizioni reciproche nello spazio e Rette e piani nello spazio. Il prodotto scalare e la proiezione ortogonale stanno in Vettori geometrici.

Per l’esame

Saper enunciare: distanza punto-punto, punto-piano (definizione con il punto più vicino e formula), punto-retta con il piede $H$ , retta-retta nei tre casi.
Saper dimostrare: la formula $d(P, \pi) = \frac{|ax_P + by_P + cz_P + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ con la proiezione di $\overrightarrow{QP}$ sulla normale (a lezione la prof l’ha mostrata su un esempio e ha rimandato alla dispensa).
Saper fare: distanza punto-piano con la formula e col versore; distanza punto-retta con il metodo 1 (punto generico) e il metodo 2 (piano ausiliario); distanza fra rette parallele; distanza fra rette sghembe con perpendicolare comune o piano del fascio; piani a distanza data da un punto.
Dove esce: esercizi 1.13 b, 1.14 c, 1.16, 1.17 c del foglio 1.

Una sola idea, quattro casi. La distanza fra due oggetti è sempre la minima distanza fra un punto del primo e un punto del secondo, e quel minimo si realizza sempre lungo una perpendicolare. Tutto il lavoro è trovare il piede della perpendicolare, cioè il punto $H$ ; poi la distanza è un modulo di segmento orientato come già sai calcolarlo.

   punto - punto     ->  formula diretta
   punto - piano     ->  formula diretta (proiezione sulla normale)
   punto - retta     ->  trovare H, poi |PH|
   retta - retta     ->  dipende dalla posizione reciproca

Per le rette la prima mossa non è mai un conto di distanza: è determinare la posizione reciproca. Incidenti, parallele e sghembe si trattano in tre modi diversi.

1Definizioni

1.1Distanza punto-punto

Dati $P = (x_P, y_P, z_P)$ e $Q = (x_Q, y_Q, z_Q)$ , la distanza è il modulo del segmento orientato $\overrightarrow{PQ}$ :

d(P, Q) = |\overrightarrow{PQ}| = \sqrt{(x_Q - x_P)^2 + (y_Q - y_P)^2 + (z_Q - z_P)^2}

Sotto radice c’è una somma di quadrati: è il modulo in coordinate, cioè il teorema di Pitagora applicato due volte. L’ordine dei punti non conta, perché ogni differenza viene elevata al quadrato.

1.2Distanza punto-piano

Dato un piano $\pi$ e un punto $P$ non su di esso, la distanza è la distanza fra $P$ e il punto di $\pi$ più vicino a $P$ , cioè il punto $H$ tale che $\overrightarrow{HP}$ sia ortogonale al piano.

Come la calcola la prof: si prende un punto qualunque $Q$ su $\pi$ e il versore normale $\vec{n}$ . La distanza è il modulo della proiezione ortogonale di $\overrightarrow{QP}$ su $\vec{n}$ :

d(P, \pi) = \left|(\overrightarrow{QP} \cdot \vec{n})\,\vec{n}\right| = |\overrightarrow{QP} \cdot \vec{n}| \qquad (|\vec{n}| = 1)

L’ultima uguaglianza vale perché il modulo di un numero per un versore è il valore assoluto del numero. Da qui esce la formula chiusa dell’enunciato qui sotto.

1.3Distanza punto-retta

La prof: $d(P, r) = d(P, H)$ , dove $H$ è il punto di $r$ tale che $\overrightarrow{HP} \cdot \vec{v} = 0$ , con $\vec{v}$ vettore direzionale di $r$ .

$H$ si chiama piede della perpendicolare da $P$ a $r$ . Non c’è una formula chiusa da imparare: si trova con uno dei due metodi nella sezione Metodo.

1.4Distanza retta-retta

La prof: date due rette $r$ e $r'$ , $d(r, r')$ è la distanza minima fra un punto su $r$ e un punto su $r'$ .

Nel caso sghembo il segmento $\overrightarrow{PQ}$ che realizza il minimo ha gli estremi su $r$ e su $r'$ ed è ortogonale a entrambe: è la perpendicolare comune, e la prof definisce $d(r, r') = d(P, Q)$ .

2Enunciati

2.1Distanza punto-piano

Al numeratore c’è l’equazione del piano valutata in $P$ , in valore assoluto; al denominatore il modulo della normale. Due letture utili: se $P$ sta sul piano il numeratore è zero e la distanza è zero, come deve essere; e se l’equazione del piano è già normalizzata ( $|\vec{n}| = 1$ ) la distanza è direttamente il numeratore.

Il valore assoluto serve perché $a x_P + b y_P + c z_P + d$ ha segno: è positivo da un lato del piano e negativo dall’altro. Il segno dice da che parte sta $P$ , cosa che a volte serve, ma la distanza è comunque non negativa.

Dimostrazione (dispensa, Proposizione 5)

Sia $\vec{n} = (a, b, c)$ la normale e sia $Q = (x_Q, y_Q, z_Q)$ un punto qualunque di $\pi$ . Il vettore $\overrightarrow{HP}$ è la proiezione ortogonale di $\overrightarrow{QP}$ su $\vec{n}$ :

\overrightarrow{HP} = \left(\overrightarrow{QP} \cdot \vec{n}\right) \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|^2}

Sviluppo il prodotto scalare:

\overrightarrow{QP} \cdot \vec{n} = (x_P - x_Q,\ y_P - y_Q,\ z_P - z_Q) \cdot (a, b, c) = (a x_P + b y_P + c z_P) - (a x_Q + b y_Q + c z_Q)

Ora arriva il passaggio chiave: $Q$ sta sul piano, quindi le sue coordinate soddisfano l’equazione, cioè $a x_Q + b y_Q + c z_Q = -d$ . Sostituendo:

\overrightarrow{QP} \cdot \vec{n} = a x_P + b y_P + c z_P + d

Il punto $Q$ è sparito dal conto, ed è il motivo per cui la formula finale non dipende da quale punto del piano hai scelto. Prendendo il modulo:

d(P, \pi) = \left|\overrightarrow{HP}\right| = \frac{|a x_P + b y_P + c z_P + d|}{|\vec{n}|^2} \cdot |\vec{n}| = \frac{|a x_P + b y_P + c z_P + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \qquad \blacksquare

2.2Distanza fra due rette, i tre casi

Nel caso parallelo la scelta del punto su $r$ è libera perché la distanza fra due rette parallele è la stessa in ogni punto: è quello che significa essere parallele.

3Metodo

3.1Distanza punto-piano

Con la formula: sostituisci $P$ nell’equazione del piano, prendi il valore assoluto, dividi per $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ . Se serve anche il piede $H$ , è la proiezione ortogonale di $P$ sul piano: retta per $P$ con direzionale $\vec{n}$ , intersecata col piano (metodo in Rette e piani nello spazio).

Piani a distanza data. Se il piano cercato ha normale nota (parallelo a un piano dato, oppure ortogonale a una retta data) l’unica incognita è $d$ . Imponi $\frac{|ax_P + by_P + cz_P + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} = \delta$ : il valore assoluto dà due equazioni e quindi due piani, uno per parte rispetto a $P$ .

3.2Distanza punto-retta, metodo 1 (punto generico)

Scrivi le parametriche di $r$ e chiama $Q(t) = (x_A + t v_1,\ y_A + t v_2,\ z_A + t v_3)$ il punto generico.
Calcola $\overrightarrow{PQ(t)}$ , che dipende da $t$ .
Imponi l’ortogonalità al direzionale: $\overrightarrow{PQ(t)} \cdot \vec{v} = 0$ . È un’equazione di primo grado in $t$ .
La soluzione $t_0$ dà $H = Q(t_0)$ .
$d(P, r) = d(P, H)$ .

3.3Distanza punto-retta, metodo 2 (piano ausiliario)

Scrivi il piano $\pi$ passante per $P$ e ortogonale a $r$ : la sua normale è il direzionale di $r$ , quindi $\pi : v_1 x + v_2 y + v_3 z + d = 0$ , e $d$ si ricava imponendo il passaggio per $P$ .
Trova $H = \pi \cap r$ sostituendo le parametriche di $r$ nell’equazione di $\pi$ e ricavando $t$ .
$d(P, r) = d(P, H)$ .

I due metodi portano alla stessa equazione in $t$ , scritta in modo diverso. Il primo è più corto; il secondo è utile quando il piano ausiliario serve comunque per altre richieste dello stesso esercizio.

3.4Distanza fra rette parallele

Prendi un punto qualunque $P$ di $r$ e calcola $d(P, r')$ con uno dei due metodi punto-retta. Prima controlla che non siano coincidenti: se $P$ sta anche su $r'$ la distanza è $0$ .

3.5Distanza fra rette sghembe, metodo 1 (perpendicolare comune)

Scrivi il punto generico $P(t)$ su $r$ e $Q(s)$ su $r'$ , con parametri diversi.
Calcola $\overrightarrow{P(t)Q(s)}$ , che dipende da $t$ e da $s$ .
Imponi le due ortogonalità: $\begin{cases} \overrightarrow{P(t)Q(s)} \cdot \vec{v} = 0 \\ \overrightarrow{P(t)Q(s)} \cdot \vec{w} = 0 \end{cases}$ dove $\vec{v}$ e $\vec{w}$ sono i direzionali di $r$ e $r'$ .
Risolvi il sistema lineare in $t$ e $s$ : la soluzione $(t_0, s_0)$ dà $P = P(t_0)$ e $Q = Q(s_0)$ .
$d(r, r') = d(P, Q)$ .

3.6Distanza fra rette sghembe, metodo 2 (piano del fascio)

Scrivi le cartesiane di $r$ e da lì il fascio di piani di sostegno $r$ : $\lambda(\ldots) + \mu(\ldots) = 0$ .
Estrai la normale $\vec{n}$ del generico piano del fascio, con $\lambda$ e $\mu$ dentro.
Imponi che il piano sia parallelo a $r'$ , cioè $\vec{n} \cdot \vec{w} = 0$ . Esce una relazione fra $\lambda$ e $\mu$ .
Scegli i valori e ottieni il piano $\pi$ : contiene $r$ ed è parallelo a $r'$ .
Prendi un punto qualunque $Q$ di $r'$ : $d(r, r') = d(Q, \pi)$ con la formula punto-piano.

Il secondo metodo funziona perché $r'$ è parallela a $\pi$ , quindi tutti i suoi punti hanno la stessa distanza da $\pi$ , e $r$ sta dentro $\pi$ : la distanza fra $r'$ e il piano è esattamente la distanza fra le due rette. Il metodo 2 dà solo il numero; se il testo chiede anche i punti di minima distanza serve il metodo 1.

4Esempi svolti a lezione

Prof, L3, appunti p. 22-23:

d(P, \pi)

con

\pi : 2x - 2y + z - 1 = 0

P = (1, 0, 1)

$P \notin \pi$ : $2 - 0 + 1 - 1 = 2 \neq 0$ .

Versore normale. $|(2, -2, 1)| = \sqrt{4 + 4 + 1} = 3$ , quindi

\vec{n} = \frac{(2, -2, 1)}{3} = \left(\frac{2}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{1}{3}\right)

La prof corregge “vettore” in “versore”: la formula $(\overrightarrow{QP} \cdot \vec{n})\,\vec{n}$ è quella della proiezione su un versore.

Un punto del piano. $Q = (1, 1, 1)$ : $2 - 2 + 1 - 1 = 0$ , sta su $\pi$ . Allora $\overrightarrow{QP} = (1-1,\ 0-1,\ 1-1) = (0, -1, 0)$ .

Proiezione.

\overrightarrow{QP} \cdot \vec{n} = 0 \cdot \tfrac{2}{3} + (-1)\left(-\tfrac{2}{3}\right) + 0 \cdot \tfrac{1}{3} = \frac{2}{3} \qquad (\overrightarrow{QP} \cdot \vec{n})\,\vec{n} = \frac{2}{3}\,\vec{n}

d(P, \pi) = \left|\frac{2}{3}\,\vec{n}\right| = \frac{2}{3}\,|\vec{n}| = \frac{2}{3}

perché $|\vec{n}| = 1$ .

Controllo con la formula generale (enunciata subito dopo dalla prof): $\frac{|2 \cdot 1 - 2 \cdot 0 + 1 - 1|}{\sqrt{4 + 4 + 1}} = \frac{2}{3}$ .

Prof, L3, appunti p. 24-25:

d(P, r)

con

P = (1,2,2)

r : (3 + 2t,\ -1 - t,\ 3 - t)

, entrambi i metodi

È anche l’Esempio 10 della dispensa.

Direzionale. $\vec{v} = (2, -1, -1)$ .

Metodo 1. Punto generico $Q(t) = (3+2t,\ -1-t,\ 3-t)$ , quindi

\overrightarrow{PQ(t)} = (3+2t-1,\ -1-t-2,\ 3-t-2) = (2+2t,\ -3-t,\ 1-t)

Ortogonalità con $\vec{v}$ :

2(2+2t) - (-3-t) - (1-t) = 4 + 4t + 3 + t - 1 + t = 6t + 6 = 0 \quad\Longrightarrow\quad t_0 = -1

Quindi $H = Q(-1) = (1, 0, 4)$ e (la prof omette il conto)

d(P, r) = d(P, H) = \sqrt{(1-1)^2 + (0-2)^2 + (4-2)^2} = \sqrt{0 + 4 + 4} = 2\sqrt{2}

Metodo 2. Il piano per $P$ ortogonale a $r$ ha normale $\vec{v} = (2,-1,-1)$ , quindi $2x - y - z + d = 0$ . Passaggio per $P(1,2,2)$ : $2 - 2 - 2 + d = 0$ , cioè $d = 2$ e

\pi : 2x - y - z + 2 = 0

Sostituisco le parametriche di $r$ :

2(3+2t) - (-1-t) - (3-t) + 2 = 6 + 4t + 1 + t - 3 + t + 2 = 6t + 6 = 0 \quad\Longrightarrow\quad t_0 = -1

Stesso $t$ , quindi stesso $H = (1,0,4)$ e stessa distanza $2\sqrt{2}$ .

Prof, L3, appunti p. 26-27: rette sghembe

r : (1-t,\ -1+3t,\ -t)

r' : (2+s,\ s,\ 1-s)

A lezione la prof ha impostato il metodo 1 e dato la soluzione $t = 0$ , $s = -\frac{1}{3}$ ; il resto del conto e il metodo 2 li ha lasciati come esercizio. Qui sono svolti per esteso.

Direzionali. $\vec{v} = (-1, 3, -1)$ e $\vec{w} = (1, 1, -1)$ : non proporzionali.

Metodo 1. Il vettore che unisce i due punti generici è

\overrightarrow{P(t)Q(s)} = \big((2+s) - (1-t),\ s - (-1+3t),\ (1-s) - (-t)\big) = (1+s+t,\ 1+s-3t,\ 1-s+t)

Le due condizioni di ortogonalità:

\begin{cases} -(1+s+t) + 3(1+s-3t) - (1-s+t) = 3s - 11t + 1 = 0 \\ (1+s+t) + (1+s-3t) - (1-s+t) = 3s - 3t + 1 = 0 \end{cases}

Sottraendo la seconda dalla prima: $-8t = 0$ , quindi $t = 0$ e poi $s = -\frac{1}{3}$ , come sugli appunti. Il vettore diventa

\overrightarrow{PQ} = \left(1 - \tfrac{1}{3},\ 1 - \tfrac{1}{3},\ 1 + \tfrac{1}{3}\right) = \left(\tfrac{2}{3}, \tfrac{2}{3}, \tfrac{4}{3}\right)

d(r, r') = \sqrt{\tfrac{4}{9} + \tfrac{4}{9} + \tfrac{16}{9}} = \sqrt{\tfrac{24}{9}} = \frac{2\sqrt{6}}{3}

Controllo: $\left(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{4}{3}\right) \cdot (-1, 3, -1) = \frac{-2 + 6 - 4}{3} = 0$ e $\cdot (1, 1, -1) = \frac{2 + 2 - 4}{3} = 0$ .

Metodo 2. Cartesiane di $r$ : da $z = -t$ viene $t = -z$ , quindi $x = 1 + z$ e $y = -1 - 3z$ , cioè

r : \begin{cases} x - z - 1 = 0 \\ y + 3z + 1 = 0 \end{cases}

Fascio di sostegno $r$ :

\lambda(x - z - 1) + \mu(y + 3z + 1) = 0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda x + \mu y + (3\mu - \lambda)z + (\mu - \lambda) = 0

Normale $\vec{n} = (\lambda,\ \mu,\ 3\mu - \lambda)$ . Parallelismo con $r'$ :

\vec{n} \cdot \vec{w} = \lambda + \mu - 3\mu + \lambda = 2\lambda - 2\mu = 0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda = \mu

Scelgo $\lambda = \mu = 1$ : $\pi : x + y + 2z = 0$ .

Prendo $Q = (2, 0, 1)$ su $r'$ (parametro $s = 0$ ):

d(Q, \pi) = \frac{|2 + 0 + 2|}{\sqrt{1 + 1 + 4}} = \frac{4}{\sqrt{6}} = \frac{4\sqrt{6}}{6} = \frac{2\sqrt{6}}{3}

Stesso risultato del metodo 1.

Tutor, esercitazione 1, es. 6:

r : \{x - y = 0,\ y - z - 1 = 0\}

r'

per

A(2,0,1)

B(3,0,0)

\pi

ortogonale a

r

per

C(-1,0,0)

P = r \cap \pi

. Trova

d(P, r')

Gli ingredienti.

$r'$ : direzionale $\overrightarrow{AB} = (3-2,\ 0-0,\ 0-1) = (1, 0, -1)$ , parametriche da $A$ : $r' : (2 + s,\ 0,\ 1 - s)$ .
$r$ in parametriche, ponendo $z = t$ : $y = 1 + t$ , $x = y = 1 + t$ , quindi $r : (1 + t,\ 1 + t,\ t)$ e $\vec{v} = (1, 1, 1)$ .
$\pi$ è ortogonale a $r$ , quindi ha normale $\vec{v}$ : $x + y + z + d = 0$ . Passaggio per $C$ : $-1 + d = 0$ , $d = 1$ . $\pi : x + y + z + 1 = 0$ .
$P = r \cap \pi$ : $(1 + t) + (1 + t) + t + 1 = 3t + 3 = 0$ , quindi $t = -1$ e $P = (0, 0, -1)$ .

Metodo I (punto generico). $Q(s) = (2 + s,\ 0,\ 1 - s)$ , $\vec{w} = (1, 0, -1)$ .

\overrightarrow{PQ(s)} = (2 + s,\ 0,\ 2 - s) \qquad \overrightarrow{PQ(s)} \cdot \vec{w} = (2 + s) - (2 - s) = 2s = 0 \quad\Longrightarrow\quad s = 0

Il piede è $Q(0) = (2, 0, 1) = A$ , e

d(P, r') = \sqrt{(2-0)^2 + (0-0)^2 + (1-(-1))^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}

Metodo II (piano ausiliario). Piano $\pi'$ ortogonale a $r'$ per $P$ : $x - z + d = 0$ , e $0 + 1 + d = 0$ dà $d = -1$ , quindi $\pi' : x - z - 1 = 0$ . Interseco con $r'$ : $(2 + s) - (1 - s) - 1 = 2s = 0$ , $s = 0$ , $H = (2, 0, 1)$ . Stessa distanza $2\sqrt{2}$ .

5Esercizi tipo esame

Esercizio 1. Siano $\pi : x - 2y + 2z + 1 = 0$ e $P = (3, -1, 2)$ . Calcola $d(P, \pi)$ e trova il punto $H$ di $\pi$ più vicino a $P$ .

Soluzione

Distanza. Sostituisco $P$ : $3 + 2 + 4 + 1 = 10$ . $|\vec{n}| = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3$ .

d(P, \pi) = \frac{|10|}{3} = \frac{10}{3}

Piede. Retta per $P$ con direzionale $\vec{n} = (1, -2, 2)$ : $(3 + t,\ -1 - 2t,\ 2 + 2t)$ . Nel piano:

(3 + t) - 2(-1 - 2t) + 2(2 + 2t) + 1 = 10 + 9t = 0 \quad\Longrightarrow\quad t = -\frac{10}{9}

H = \left(3 - \frac{10}{9},\ -1 + \frac{20}{9},\ 2 - \frac{20}{9}\right) = \left(\frac{17}{9}, \frac{11}{9}, -\frac{2}{9}\right)

Verifica. $H \in \pi$ : $\frac{17 - 22 - 4 + 9}{9} = 0$ . $d(P, H) = |t|\,|\vec{n}| = \frac{10}{9} \cdot 3 = \frac{10}{3}$ : torna.

Esercizio 2. Trova i piani paralleli a $\pi : 2x + y - 2z = 0$ che distano $3$ dal punto $A = (1, 1, 1)$ .

Soluzione

Paralleli a $\pi$ significa stessa normale: $2x + y - 2z + d = 0$ , con $d$ incognito. $|\vec{n}| = \sqrt{4 + 1 + 4} = 3$ .

\frac{|2 + 1 - 2 + d|}{3} = 3 \quad\Longrightarrow\quad |1 + d| = 9

Il valore assoluto dà due casi: $1 + d = 9$ , cioè $d = 8$ , oppure $1 + d = -9$ , cioè $d = -10$ .

2x + y - 2z + 8 = 0 \qquad 2x + y - 2z - 10 = 0

Verifica: $\frac{|1 + 8|}{3} = 3$ e $\frac{|1 - 10|}{3} = 3$ . I due piani stanno da parti opposte di $A$ (valori $+9$ e $-9$ ).

Esercizio 3. Siano $P = (2, 1, 0)$ e $r : \{x - y = 0,\ z - 1 = 0\}$ . a) Calcola $d(P, r)$ con entrambi i metodi. b) Sia $r'$ la retta per $P$ parallela a $r$ . Quanto vale $d(r, r')$ ?

Soluzione

Parametriche di $r$ . Pongo $x = t$ : $y = t$ , $z = 1$ . $Q(t) = (t, t, 1)$ , $\vec{v} = (1, 1, 0)$ . $P \notin r$ perché $2 - 1 \neq 0$ .

a) Metodo 1. $\overrightarrow{PQ(t)} = (t - 2,\ t - 1,\ 1)$ , e

\overrightarrow{PQ(t)} \cdot \vec{v} = (t - 2) + (t - 1) = 2t - 3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad t_0 = \frac{3}{2}

$H = \left(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}, 1\right)$ , $\overrightarrow{PH} = \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1\right)$ ,

d(P, r) = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + 1} = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}

Metodo 2. Piano per $P$ con normale $\vec{v}$ : $x + y + d = 0$ , $2 + 1 + d = 0$ , $d = -3$ . Con le parametriche: $t + t - 3 = 0$ , $t = \frac{3}{2}$ . Stesso $H$ , stessa distanza.

b) $r$ e $r'$ sono parallele, e per il caso parallelo $d(r, r') = d(P, r)$ con $P$ qualunque su $r'$ . Il punto $P$ sta su $r'$ , quindi $d(r, r') = \frac{\sqrt{6}}{2}$ senza altri conti.

Esercizio 4. Siano $r : (1 + t,\ t,\ 0)$ e $r' : (0,\ s,\ 2 + s)$ . Mostra che sono sghembe e calcola la distanza con entrambi i metodi, trovando anche i punti di minima distanza.

Soluzione

Posizione. $\vec{v} = (1, 1, 0)$ e $\vec{w} = (0, 1, 1)$ non sono proporzionali. Sistema d’incidenza: $1 + t = 0$ , $t = s$ , $0 = 2 + s$ . Dalla prima $t = -1$ , dalla seconda $s = -1$ , e la terza darebbe $0 = 1$ : impossibile. Sghembe.

Metodo 1.

\overrightarrow{P(t)Q(s)} = (0 - 1 - t,\ s - t,\ 2 + s - 0) = (-1 - t,\ s - t,\ 2 + s)

\begin{cases} \overrightarrow{P(t)Q(s)} \cdot \vec{v} = -1 - t + s - t = s - 2t - 1 = 0 \\ \overrightarrow{P(t)Q(s)} \cdot \vec{w} = s - t + 2 + s = 2s - t + 2 = 0 \end{cases}

Dalla prima $s = 2t + 1$ ; nella seconda $4t + 2 - t + 2 = 3t + 4 = 0$ , quindi $t = -\frac{4}{3}$ e $s = -\frac{5}{3}$ .

P = \left(-\frac{1}{3}, -\frac{4}{3}, 0\right) \qquad Q = \left(0, -\frac{5}{3}, \frac{1}{3}\right) \qquad \overrightarrow{PQ} = \left(\frac{1}{3}, -\frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right)

d(r, r') = \sqrt{\frac{1}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}

Controllo: $\overrightarrow{PQ} \cdot \vec{v} = \frac{1 - 1}{3} = 0$ e $\overrightarrow{PQ} \cdot \vec{w} = \frac{-1 + 1}{3} = 0$ .

Metodo 2. Cartesiane di $r$ : da $y = t$ , $x = 1 + y$ e $z = 0$ , cioè $\{x - y - 1 = 0,\ z = 0\}$ . Fascio: $\lambda(x - y - 1) + \mu z = 0$ , normale $(\lambda, -\lambda, \mu)$ . Parallelo a $r'$ : $(\lambda, -\lambda, \mu) \cdot (0, 1, 1) = -\lambda + \mu = 0$ , quindi $\mu = \lambda$ . Con $\lambda = 1$ : $\pi : x - y + z - 1 = 0$ . Punto di $r'$ per $s = 0$ : $(0, 0, 2)$ .

d = \frac{|0 - 0 + 2 - 1|}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}

6Errori tipici

Dimenticare il valore assoluto nella formula punto-piano, o la radice al denominatore.
Usare la formula $|(\overrightarrow{QP} \cdot \vec{n})\,\vec{n}|$ con un $\vec{n}$ non normalizzato: senza versore il risultato viene moltiplicato per $|\vec{n}|^2$ .
Nei piani a distanza data trovare una sola soluzione: il valore assoluto ne dà due.
Calcolare la distanza fra due rette senza aver stabilito la posizione reciproca: se sono incidenti è $0$ e ogni conto è lavoro buttato.
Usare lo stesso parametro per i punti generici delle due rette nel metodo della perpendicolare comune.
Imporre l’ortogonalità di $\overrightarrow{PQ(t)}$ con la normale di un piano invece che col direzionale della retta.
Con il metodo 2 per le sghembe, prendere il punto su $r$ invece che su $r'$ : $r$ sta nel piano e la distanza viene $0$ .
Scrivere un numero negativo come distanza, o $0$ per oggetti che non si toccano: è il segnale di un errore di conto.

7Domande

Scrivi la formula della distanza fra due punti nello spazio. Sotto radice ci sono somme o differenze?
Qual è la definizione geometrica di distanza di un punto da un piano?
Scrivi la formula di $d(P, \pi)$ e spiega cosa c’è al numeratore e cosa al denominatore.
Nella dimostrazione della formula punto-piano, in quale passaggio sparisce il punto $Q$ e perché è importante?
Perché nella formula punto-piano serve il valore assoluto? Cosa dice il segno del numeratore?
Come si caratterizza il piede $H$ della perpendicolare da $P$ a una retta $r$ ?
Descrivi il metodo del punto generico per la distanza punto-retta.
Nel metodo del piano ausiliario, chi fa da vettore normale al piano che costruisci?
Quanto vale la distanza fra due rette incidenti? E come si calcola quella fra due rette parallele?
Per due rette sghembe, che proprietà ha il segmento $\overrightarrow{PQ}$ che realizza la distanza minima?
Nel metodo 1 per rette sghembe, quante equazioni imponi e in quante incognite?
Nel metodo 2 per rette sghembe, che piano si cerca dentro il fascio e perché la distanza cercata è la distanza di un punto di $r'$ da quel piano?