Algoritmo di Gauss-Jordan · GAL

Argomento di Geometria e Algebra Lineare. Fatto a lezione in L4, lun 28/9 (3 ore). Fonte: appunti della prof p. 3 (operazioni elementari), p. 4-6 (esempi 1-3), p. 6-7 (matrice a scalini, pivot, algoritmo), p. 8-9 (forma ridotta per righe, riduzione all’indietro), p. 12-14 (applicazione alla geometria); esercitazione 2 del tutor, mar 29/9, p. 1-5 (riassunto, es. 1 e 2). Prima: Sistemi lineari (notazione e matrici associate). Il rango e il teorema di Rouché-Capelli, che dicono quante soluzioni ci sono, stanno in Rango e Rouché-Capelli.

Per l’esame

Saper enunciare: le tre operazioni elementari con la notazione $S_{ij}$ , $D_i(\lambda)$ , $E_{ij}(\mu)$ ; matrice a scalini; pivot; matrice a scalini ridotta per righe; i passi dell’algoritmo di Gauss-Jordan e della riduzione all’indietro. Sono le domande 2.1-2.5 del foglio 2.
Saper fare: ridurre a scalini la matrice completa di un sistema, scrivere ogni passo con la sua sigla; arrivare a $\operatorname{rref}$ e leggere le soluzioni; riconoscere le variabili libere (colonne senza pivot) e scrivere le soluzioni in funzione di un parametro; passare da cartesiane a parametriche per rette e piani.
Dove esce: in ogni esercizio sui sistemi del foglio 2 (2.11-2.16) e in tutto il resto del corso: rango, matrici inverse, basi passano tutti da qui.

L’idea. La prof parte da un sistema e lo semplifica eliminando un’incognita alla volta, come si fa a mano. La novità è che lo fa sulla matrice completa e con tre sole mosse ammesse, le operazioni elementari: nessuna di loro cambia le soluzioni. Alla fine la matrice è “a scalini” e il sistema si risolve dal basso. Il tutor (29/9) la dice così: l’idea è “robotizzare, automatizzare” i conti, invece di pensare a ogni sistema da capo.

   sistema  ->  [A | b]  --Gauss-Jordan-->  forma a scalini  --all'indietro-->  rref
                                                 |                               |
                                         rango, compatibilità           soluzioni lette
                                         (Rouché-Capelli)               direttamente

1Definizioni

1.1Operazioni elementari

La prof (p. 3) le dà in parallelo, sul sistema e sulla matrice:

sul sistema	sulla matrice	sigla
scambiare due equazioni	scambiare le righe $R_i$ e $R_j$	$S_{ij}$
moltiplicare un’equazione per uno scalare non nullo	moltiplicare la riga $R_i$ per uno scalare $\lambda \neq 0$	$D_i(\lambda)$
sommare a un’equazione un’altra equazione moltiplicata per $\mu \neq 0$	sommare a $R_i$ la riga $R_j$ moltiplicata per $\mu \neq 0$	$E_{ij}(\mu)$

Come si legge $E_{ij}(\mu)$ . La riga che cambia è la prima dell’indice, $R_i$ ; la seconda, $R_j$ , resta com’è e fa da attrezzo: $R_i \to R_i + \mu R_j$ . Per esempio $E_{21}(-1)$ vuol dire “alla seconda riga sommo $-1$ volte la prima”, cioè $R_2 \to R_2 - R_1$ . Il segno di $\mu$ va scritto così com’è.

Nel riassunto del tutor (p. 1) accanto a $E_{ij}(\lambda)$ c’è la nota “riga $i$ $-\ \lambda$ (riga $j$ )”, col segno meno. Negli esercizi però il tutor la usa come la prof: il suo $E_{21}(-\frac{1}{4})$ è $R_2 - \frac{1}{4}R_1$ . Vale la convenzione della prof, $R_i + \mu R_j$ .

Perché queste tre. Ogni operazione elementare si può disfare con un’altra operazione elementare: $S_{ij}$ con sé stessa, $D_i(\lambda)$ con $D_i(1/\lambda)$ , $E_{ij}(\mu)$ con $E_{ij}(-\mu)$ . Quindi una soluzione del sistema nuovo è soluzione del vecchio e viceversa: il sistema che si ottiene è equivalente (stesse soluzioni, vedi Sistemi lineari). Qui sta il motivo di $\lambda \neq 0$ : moltiplicare una riga per $0$ la cancella, e quell’informazione non torna più indietro.

Esempio: nel sistema $x + y + z = 12$ , $x + 2y - 2z = 1$ , l’operazione $E_{21}(-1)$ dà $y - 3z = -11$ al posto della seconda equazione. Una terna che soddisfa le due equazioni nuove soddisfa anche le vecchie, perché la vecchia seconda è la nuova seconda più la prima.

1.2Matrice a scalini

La prof (p. 6): una matrice $A$ è detta a scalini se per ogni $R_i, R_{i+1}$ (coppia di righe consecutive) abbiamo una delle seguenti proprietà:

(a) $R_i$ e $R_{i+1}$ sono non nulle e il numero di zeri che precedono il primo numero non nullo di $R_i$ è inferiore rispetto al numero di zeri che precedono il primo numero non nullo di $R_{i+1}$ ;
(b) $R_{i+1}$ è nulla (riga di zeri).

In parole: scendendo di riga, il primo numero non nullo si sposta strettamente a destra, e le righe di zeri stanno tutte in fondo. La condizione (b) dice anche che sotto una riga nulla può esserci solo un’altra riga nulla: se $R_i$ è nulla, la coppia $R_i, R_{i+1}$ non soddisfa (a), quindi deve valere (b).

Esempio della prof, con $p_1, p_2, p_3 \neq 0$ e $\ast$ numeri qualunque:

A = \begin{pmatrix} p_1 & \ast & \ast & \ast \\ 0 & p_2 & \ast & \ast \\ 0 & 0 & 0 & p_3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Lo scalino può essere largo più di una colonna: fra $p_2$ e $p_3$ si salta la terza colonna. Non è a scalini, per esempio, $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ (entrambe le righe partono dalla prima colonna) né $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ (riga nulla sopra una non nulla).

1.3Pivot

La prof (p. 7): in una matrice a scalini, i numeri $p_1, p_2, p_3, \ldots \neq 0$ sono detti pivot. Sono i primi elementi non nulli di ogni riga non nulla, gli “spigoli” degli scalini.

Ogni riga non nulla ha esattamente un pivot, e due pivot non stanno mai nella stessa colonna. Quindi il numero di pivot è il numero di righe non nulle della forma a scalini. Nell’esempio sopra i pivot sono tre, in colonna $1$ , $2$ e $4$ ; la colonna $3$ è senza pivot.

1.4Matrice a scalini ridotta per righe

La prof (p. 8): una matrice è ridotta per righe se è a scalini e inoltre se ogni pivot è $1$ ed è l’unico elemento non nullo della propria colonna.

\begin{pmatrix} 1 & 0 & \ast & 0 & \ast \\ 0 & 1 & \ast & 0 & \ast \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \ast \end{pmatrix} \quad \text{è ridotta per righe.}

Gli $\ast$ possono stare solo nelle colonne senza pivot. Il vantaggio: ogni riga contiene una sola incognita di pivot, e il sistema si legge già risolto.

2Enunciati

2.1Le operazioni elementari non cambiano le soluzioni

La prof lo usa in tutti gli esempi senza enunciarlo a parte: è il motivo per cui si può risolvere il sistema finale al posto di quello di partenza.

Dimostrazione

Basta farlo per una operazione: per una successione si ripete il ragionamento a ogni passo.

$S_{ij}$ e $D_i(\lambda)$ : scambiare l’ordine delle equazioni non cambia l’insieme delle condizioni; moltiplicare un’equazione per $\lambda \neq 0$ dà un’equazione con le stesse soluzioni, perché si torna indietro dividendo per $\lambda$ .

$E_{ij}(\mu)$ : cambia solo l’equazione $i$ , che diventa $(\text{eq}_i) + \mu\,(\text{eq}_j)$ . Se $(t_1, \ldots, t_n)$ soddisfa il sistema vecchio, soddisfa $\text{eq}_i$ ed $\text{eq}_j$ , quindi anche la loro combinazione: soddisfa il nuovo. Viceversa, se soddisfa il nuovo, soddisfa $\text{eq}_j$ (che non è cambiata) e $\text{eq}_i + \mu\,\text{eq}_j$ ; sottraendo $\mu$ volte la prima si ritrova $\text{eq}_i$ . Le soluzioni sono le stesse. $\square$

2.2Unicità della forma ridotta

A lezione è dato come fatto. La conseguenza che conta è quella sul rango (in Rango e Rouché-Capelli): tutte le forme a scalini di $A$ hanno lo stesso numero di pivot.

3Metodo

3.1Algoritmo di Gauss-Jordan (forma a scalini)

I passi della prof (p. 7):

Cerchiamo la prima colonna che contiene un elemento non nullo; lo chiamiamo $p_1$ .
Scambiamo le righe in modo da portare $p_1$ sulla prima riga ( $S_{1j}$ ).
Utilizziamo operazioni $E_{j1}(\mu)$ finché tutti i termini nella colonna di $p_1$ (escluso $p_1$ ) siano nulli. Il $\mu$ giusto per la riga $j$ è $\mu = -\dfrac{a_{j1}}{p_1}$ .
Ripetiamo il procedimento sulla matrice ottenuta escludendo la prima riga.

\left(\begin{array}{c|cccc} p_1 & \ast & \ast & \ast & \ast \\ \hline 0 & p_2 & \ast & \ast & \ast \\ 0 & 0 & & & \\ \vdots & \vdots & & \ddots & \\ 0 & 0 & & & \end{array}\right)

Ci si ferma quando le righe rimaste sono tutte nulle o non ne restano. Una riga che diventa tutta di zeri si porta in fondo, oppure si cancella: è un’equazione $0 = 0$ che non dice niente (la prof la barra in esempio 4, p. 10).

Due accorgimenti che usano sia la prof sia il tutor:

se in colonna c’è un $1$ o un $-1$ , conviene portarlo su come pivot: evita le frazioni (la prof scambia $R_1$ e $R_3$ in esempio 4 per avere $-1$ come pivot);
se una riga ha un fattore comune, si può dividere con $D_i(\lambda)$ prima di proseguire.

3.2Riduzione all’indietro (forma ridotta per righe)

Per passare da una matrice a scalini alla sua forma ridotta (p. 9):

Per ogni pivot $p_i$ eseguiamo l’operazione $D_i\!\left(\frac{1}{p_i}\right)$ , così il pivot assume valore $1$ .
Riduciamo a zero tutti i termini della colonna di $p_i$ sopra $p_i$ tramite operazioni $E_{ji}(\mu)$ .

Conviene procedere dal pivot più in basso verso l’alto: si azzera la sua colonna sopra, poi si sale al pivot successivo. Così ogni operazione usa una riga che ha già un solo elemento non nullo fra le colonne di pivot, e non si rovina quello che è già fatto.

3.3Leggere le soluzioni

Con la matrice completa ridotta $\operatorname{rref}[A \mid \vec{b}]$ (p. 14):

Se compare una riga $(0 \ \cdots \ 0 \mid c)$ con $c \neq 0$ , il sistema è incompatibile: quella riga dice $0 = c$ .
Altrimenti, le incognite delle colonne con pivot sono determinate; quelle delle colonne senza pivot sono variabili libere.
Si pone ogni variabile libera uguale a un parametro ( $y = t$ , $z = s$ , …) e si ricava ogni incognita di pivot dalla sua riga.
Verifica: si sostituisce la soluzione nel sistema di partenza, non in quello ridotto. È il controllo che trova gli errori di conto lungo la riduzione.

Anche senza arrivare a $\operatorname{rref}$ si può risolvere “dal basso” la forma a scalini, come fa la prof in esempio 1: dall’ultima equazione si ricava l’ultima incognita e si sostituisce salendo.

3.4Da cartesiane a parametriche (applicazione alla geometria)

La prof (p. 12-14): “i punti sulla retta corrispondono alle soluzioni $(x, y, z)$ del sistema lineare”. Quindi le equazioni parametriche di una retta o di un piano dato in cartesiane sono la soluzione generale del sistema.

Si scrive la matrice completa delle equazioni cartesiane.
Gauss-Jordan e riduzione all’indietro fino a $\operatorname{rref}$ .
Le colonne senza pivot danno le variabili libere: si pongono uguali ai parametri.

Una retta (due equazioni indipendenti in tre incognite) ha due pivot e una variabile libera, quindi un parametro. Un piano (una equazione) ha un pivot e due variabili libere, quindi due parametri. È il modo sistematico di scegliere “quale variabile uguagliare a $t$ ”, che in Rette e piani nello spazio si faceva a occhio.

4Esempi svolti a lezione

Prof, 28/9, esempio 1, p. 4 e continuazione p. 8-9: soluzione unica

\begin{cases} x + y + z = 12 \\ x + 2y - 2z = 1 \\ 2x + y - 3z = -5 \end{cases} \qquad [A \mid \vec{b}] = \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 12 \\ 1 & 2 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & -3 & -5 \end{array}\right]

Eliminare $x$ dalla seconda e dalla terza. $E_{21}(-1)$ : $R_2 - R_1 = (0, 1, -3 \mid -11)$ , cioè $y - 3z = -11$ . $E_{31}(-2)$ : $R_3 - 2R_1 = (0, -1, -5 \mid -29)$ , cioè $-y - 5z = -29$ .

\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 12 \\ 0 & 1 & -3 & -11 \\ 0 & -1 & -5 & -29 \end{array}\right]

Eliminare $y$ dalla terza. $E_{32}(1)$ : $R_3 + R_2 = (0, 0, -8 \mid -40)$ .

\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 12 \\ 0 & 1 & -3 & -11 \\ 0 & 0 & -8 & -40 \end{array}\right] \qquad \begin{cases} x + y + z = 12 \\ y - 3z = -11 \\ -8z = -40 \end{cases}

È a scalini con pivot $1, 1, -8$ . Risolvere dal basso: $z = 5$ , poi $y = -11 + 15 = 4$ , poi $x = 12 - 4 - 5 = 3$ .

Stessa soluzione con la riduzione all’indietro (p. 8-9). $D_3(-\frac{1}{8})$ porta la terza riga a $(0, 0, 1 \mid 5)$ . $E_{12}(-1)$ : $R_1 - R_2 = (1, 0, 4 \mid 23)$ . Poi $E_{13}(-4)$ : $R_1 - 4R_3 = (1, 0, 0 \mid 3)$ ed $E_{23}(3)$ : $R_2 + 3R_3 = (0, 1, 0 \mid 4)$ .

\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 5 \end{array}\right]

La matrice ridotta si legge direttamente: $(x, y, z) = (3, 4, 5)$ . Verifica sul sistema di partenza: $3 + 4 + 5 = 12$ , $3 + 8 - 10 = 1$ , $6 + 4 - 15 = -5$ . Sistema compatibile con soluzione unica.

Prof, 28/9, esempio 2, p. 5: infinite soluzioni

\begin{cases} 2x + y - 3z = 2 \\ x + 2y + z = 1 \end{cases} \qquad \left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -3 & 2 \\ 1 & 2 & 1 & 1 \end{array}\right] \xrightarrow{E_{21}(-\frac{1}{2})} \left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -3 & 2 \\ 0 & \frac{3}{2} & \frac{5}{2} & 0 \end{array}\right]

$R_2 - \frac{1}{2}R_1 = \left(1 - 1,\ 2 - \frac{1}{2},\ 1 + \frac{3}{2} \ \middle|\ 1 - 1\right) = \left(0, \frac{3}{2}, \frac{5}{2} \ \middle|\ 0\right)$ . Pivot $2$ e $\frac{3}{2}$ , in colonna $x$ e $y$ ; la colonna di $z$ è senza pivot, quindi $z$ è la variabile libera.

Il sistema corrispondente è $2x + y - 3z = 2$ , $\frac{3}{2}y + \frac{5}{2}z = 0$ . Esprimiamo $x$ e $y$ in termini di $z$ : dalla seconda $y = -\frac{5}{3}z$ ; nella prima $2x - \frac{5}{3}z - 3z = 2$ , cioè $2x = 2 + \frac{14}{3}z$ :

\begin{cases} x = \frac{7}{3}z + 1 \\ y = -\frac{5}{3}z \end{cases} \qquad z \in \mathbb{R} \text{ qualunque}

Sistema compatibile con infinite soluzioni, una per ogni valore di $z$ . Verifica con $z = 3$ : $(8, -5, 3)$ dà $16 - 5 - 9 = 2$ e $8 - 10 + 3 = 1$ .

Prof, 28/9, esempio 3, p. 5-6: sistema incompatibile

\begin{cases} x + y = 2 \\ 2x - z = 1 \\ 2y + z = 0 \end{cases} \qquad \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 0 & 2 \\ 2 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \end{array}\right]

$E_{21}(-2)$ : $R_2 - 2R_1 = (0, -2, -1 \mid -3)$ . Poi il $2$ in colonna $y$ della terza riga si azzera con $E_{32}(1)$ : $R_3 + R_2 = (0, 0, 0 \mid -3)$ .

\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & -2 & -1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & -3 \end{array}\right] \qquad \begin{cases} x + y = 2 \\ -2y - z = -3 \\ 0 = -3 \end{cases}

La terza equazione è $0 = -3$ , falsa per ogni terna: sistema incompatibile. Nella matrice si vede da un pivot che cade nella colonna dei termini noti.

Prof, 28/9, p. 12-13: retta da cartesiane a parametriche

r: \begin{cases} x + y + z = 1 \\ 2x - y - 3z = 2 \end{cases} \qquad \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & -3 & 2 \end{array}\right] \xrightarrow{E_{21}(-2)} \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -3 & -5 & 0 \end{array}\right]

$D_2(-\frac{1}{3})$ dà $(0, 1, \frac{5}{3} \mid 0)$ ; poi $E_{12}(-1)$ : $R_1 - R_2 = (1, 0, -\frac{2}{3} \mid 1)$ .

\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -\frac{2}{3} & 1 \\ 0 & 1 & \frac{5}{3} & 0 \end{array}\right] \qquad \begin{cases} x - \frac{2}{3}z = 1 \\ y + \frac{5}{3}z = 0 \end{cases} \ \Longrightarrow\ \begin{cases} x = 1 + \frac{2}{3}z \\ y = -\frac{5}{3}z \end{cases}

La colonna di $z$ è senza pivot: pongo $z = t$ .

r: \begin{cases} x = 1 + \frac{2}{3}t \\ y = -\frac{5}{3}t \\ z = t \end{cases} \qquad t \in \mathbb{R}

Punto $(1, 0, 0)$ per $t = 0$ , direzione $\left(\frac{2}{3}, -\frac{5}{3}, 1\right)$ , o anche $(2, -5, 3)$ moltiplicando per $3$ . Verifica sulla direzione: $2 - 5 + 3 = 0$ e $4 + 5 - 9 = 0$ , ortogonale a entrambe le normali.

Prof, 28/9, p. 13-14: piano da cartesiane a parametriche

\pi: x + 2y - 3 = 0 \qquad [\,1 \ \ 2 \ \ 0 \mid 3\,]

Una sola riga, con pivot $1$ in colonna $x$ : la matrice è già ridotta per righe. Abbiamo 2 variabili libere ( $y$ e $z$ ), le colonne senza pivot. Poniamo $y = t$ , $z = s$ ( $t, s$ parametri):

\pi: \begin{cases} x = 3 - 2t \\ y = t \\ z = s \end{cases} \qquad t, s \in \mathbb{R}

Attenzione allo $0$ in colonna $z$ : nell’equazione $z$ non compare, ed è proprio per questo che è libera senza vincoli. Il piano è parallelo all’asse $z$ .

Tutor, 29/9, es. 1, p. 2-3: soluzione unica (con correzione)

Trovare la/le soluzioni di

\begin{cases} 4x + 4y + 2z = 4 \\ x - z = -1 \\ x + 3y - z = 3 \end{cases} \qquad \left[\begin{array}{ccc|c} 4 & 4 & 2 & 4 \\ 1 & 0 & -1 & -1 \\ 1 & 3 & -1 & 3 \end{array}\right]

A scalini. $E_{21}(-\frac{1}{4})$ : $R_2 - \frac{1}{4}R_1 = (0, -1, -\frac{3}{2} \mid -2)$ . $E_{31}(-\frac{1}{4})$ : $R_3 - \frac{1}{4}R_1 = (0, 2, -\frac{3}{2} \mid 2)$ . Poi $E_{32}(2)$ : $R_3 + 2R_2 = (0,\ 0,\ -\frac{3}{2} - 3 \mid 2 - 4) = (0, 0, -\frac{9}{2} \mid -2)$ .

\left[\begin{array}{ccc|c} 4 & 4 & 2 & 4 \\ 0 & -1 & -\frac{3}{2} & -2 \\ 0 & 0 & -\frac{9}{2} & -2 \end{array}\right]

Tre pivot sia in $A$ sia in $[A \mid \vec{b}]$ : per Rouché-Capelli soluzione unica.

Riduzione all’indietro. $D_1(\frac{1}{4})$ , $D_2(-1)$ , $D_3(-\frac{2}{9})$ :

\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & \frac{1}{2} & 1 \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} & 2 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{4}{9} \end{array}\right] \xrightarrow{E_{12}(-1)} \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & \frac{3}{2} & 2 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{4}{9} \end{array}\right] \xrightarrow[E_{23}(-\frac{3}{2})]{E_{13}(1)} \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & -\frac{5}{9} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{4}{3} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{4}{9} \end{array}\right]

(x, y, z) = \left(-\frac{5}{9},\ \frac{4}{3},\ \frac{4}{9}\right)

Verifica: $-\frac{20}{9} + \frac{48}{9} + \frac{8}{9} = 4$ ; $-\frac{5}{9} - \frac{4}{9} = -1$ ; $-\frac{5}{9} + 4 - \frac{4}{9} = 3$ .

Errore nella scansione del tutor: al passo $E_{32}(2)$ scrive $-\frac{3}{2}$ al posto di $-\frac{9}{2}$ nella terza riga, e arriva a $\left(-\frac{5}{3}, \frac{4}{3}, \frac{4}{3}\right)$ . Non è soluzione: nella prima equazione dà $-\frac{20}{3} + \frac{16}{3} + \frac{8}{3} = \frac{4}{3} \neq 4$ . La verifica finale sul sistema di partenza l’avrebbe trovato subito.

Tutor, 29/9, es. 2, p. 4-5: sistema omogeneo con infinite soluzioni

\begin{cases} 2x_2 + 10x_3 + x_4 = 0 \\ x_1 + 2x_2 + x_4 = 0 \\ 3x_1 + 5x_2 - 6x_3 + 4x_4 = 0 \\ 2x_1 + 5x_2 + 4x_3 + 4x_4 = 0 \end{cases}

Il tutor osserva: è omogeneo ( $\vec{b} = \vec{0}$ ), quindi basta la matrice dei coefficienti $A$ . La colonna dei termini noti resterebbe di zeri per ogni operazione.

A scalini. La prima colonna ha $0$ in alto: $S_{12}$ porta su la riga che inizia con $1$ . Poi $E_{31}(-3)$ ed $E_{41}(-2)$ :

\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 10 & 1 \\ 3 & 5 & -6 & 4 \\ 2 & 5 & 4 & 4 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 10 & 1 \\ 0 & -1 & -6 & 1 \\ 0 & 1 & 4 & 2 \end{pmatrix}

$E_{32}(\frac{1}{2})$ : $R_3 + \frac{1}{2}R_2 = (0, 0, -1, \frac{3}{2})$ . $E_{42}(-\frac{1}{2})$ : $R_4 - \frac{1}{2}R_2 = (0, 0, -1, \frac{3}{2})$ . Le ultime due righe sono uguali: $E_{43}(-1)$ azzera la quarta.

\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 10 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & \frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Il tutor a voce: “abbiamo nel sistema un’info ripetuta, superflua”. Una delle quattro equazioni è conseguenza delle altre.

Riduzione all’indietro. $D_2(\frac{1}{2})$ , $D_3(-1)$ , poi $E_{12}(-2)$ , poi $E_{13}(10)$ ed $E_{23}(-5)$ :

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -15 \\ 0 & 1 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Tre pivot, quattro incognite: $x_4$ (colonna senza pivot) è libera. Ogni riga dice incognita di pivot $+ (\text{coefficiente}) \cdot x_4 = 0$ :

\begin{cases} x_1 = 15x_4 \\ x_2 = -8x_4 \\ x_3 = \frac{3}{2}x_4 \end{cases} \qquad x_4 \in \mathbb{R}

Infinite soluzioni, fra cui quella banale ( $x_4 = 0$ ). Verifica con $x_4 = 2$ , cioè $(30, -16, 3, 2)$ : $-32 + 30 + 2 = 0$ ; $30 - 32 + 2 = 0$ ; $90 - 80 - 18 + 8 = 0$ ; $60 - 80 + 12 + 8 = 0$ .

5Esercizi tipo esame

Esercizio 1. Risolvere il sistema

\begin{cases} x + 2y + z = 4 \\ 2x + 3y + 3z = 7 \\ -x + y - 2z = -3 \end{cases}

scrivendo ogni operazione elementare usata.

Soluzione

\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 4 \\ 2 & 3 & 3 & 7 \\ -1 & 1 & -2 & -3 \end{array}\right] \xrightarrow[E_{31}(1)]{E_{21}(-2)} \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 4 \\ 0 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & 3 & -1 & 1 \end{array}\right] \xrightarrow{E_{32}(3)} \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 4 \\ 0 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 2 & -2 \end{array}\right]

Tre pivot: soluzione unica. Dal basso: $2z = -2$ , quindi $z = -1$ ; $-y + z = -1$ , quindi $y = 0$ ; $x + 0 - 1 = 4$ , quindi $x = 5$ .

(x, y, z) = (5, 0, -1)

Verifica: $5 + 0 - 1 = 4$ ; $10 + 0 - 3 = 7$ ; $-5 + 0 + 2 = -3$ .

Esercizio 2. Risolvere il sistema omogeneo

\begin{cases} x_1 + x_2 + 2x_3 + x_4 = 0 \\ 2x_1 + 3x_2 + 3x_3 + 4x_4 = 0 \\ x_1 + 2x_2 + x_3 + 3x_4 = 0 \end{cases}

Quante sono le variabili libere?

Soluzione

Omogeneo: si lavora su $A$ .

\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} \xrightarrow[E_{31}(-1)]{E_{21}(-2)} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} \xrightarrow{E_{32}(-1)} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \xrightarrow{E_{12}(-1)} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Due pivot (colonne $x_1$ , $x_2$ ), quattro incognite: due variabili libere, $x_3 = t$ e $x_4 = s$ .

\begin{cases} x_1 = -3t + s \\ x_2 = t - 2s \\ x_3 = t \\ x_4 = s \end{cases} \qquad t, s \in \mathbb{R}

Verifica con $t = 1$ , $s = 0$ , cioè $(-3, 1, 1, 0)$ : $-3 + 1 + 2 = 0$ ; $-6 + 3 + 3 = 0$ ; $-3 + 2 + 1 = 0$ . Con $t = 0$ , $s = 1$ , cioè $(1, -2, 0, 1)$ : $1 - 2 + 1 = 0$ ; $2 - 6 + 4 = 0$ ; $1 - 4 + 3 = 0$ .

Esercizio 3. Trovare equazioni parametriche della retta

r: \begin{cases} x - y + 2z = 1 \\ 2x - y + z = 3 \end{cases}

usando l’algoritmo di Gauss-Jordan.

Soluzione

\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & 1 & 3 \end{array}\right] \xrightarrow{E_{21}(-2)} \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -3 & 1 \end{array}\right] \xrightarrow{E_{12}(1)} \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & -3 & 1 \end{array}\right]

Colonna di $z$ senza pivot: $z = t$ . Dalle righe: $x - z = 2$ , $y - 3z = 1$ .

r: \begin{cases} x = 2 + t \\ y = 1 + 3t \\ z = t \end{cases} \qquad t \in \mathbb{R}

Verifica: $(2 + t) - (1 + 3t) + 2t = 1$ e $2(2 + t) - (1 + 3t) + t = 3$ per ogni $t$ .

Esercizio 4. Dire quali di queste matrici sono a scalini e quali ridotte per righe; per quelle a scalini indicare i pivot.

M_1 = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \end{pmatrix} \qquad M_2 = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix} \qquad M_3 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Soluzione

$M_1$ : a scalini, pivot $1$ (colonna 1) e $1$ (colonna 3). È anche ridotta: pivot uguali a $1$ , unici non nulli nelle loro colonne. Il $3$ e il $2$ stanno in colonne senza pivot e non danno fastidio.
$M_2$ : non è a scalini. La seconda riga è nulla e sotto c’è una riga non nulla: la coppia $R_2, R_3$ non soddisfa né (a) né (b). Con $S_{23}$ diventa a scalini.
$M_3$ : a scalini, pivot $1, 3, 1$ nelle colonne $1, 2, 3$ . Non ridotta: il pivot $3$ non è $1$ , e sopra i pivot di colonna 2 e 3 ci sono un $2$ e un $1$ .

6Errori tipici

Leggere $E_{ij}(\mu)$ al contrario: cambia $R_i$ , non $R_j$ . $E_{21}(-2)$ è $R_2 \to R_2 - 2R_1$ .
Dimenticare la colonna dei termini noti durante un’operazione: ogni operazione si fa sulla riga intera di $[A \mid \vec{b}]$ .
Sbagliare un segno a metà riduzione e portarselo fino in fondo, come nell’es. 1 del tutor. Rimedio: verifica finale sul sistema di partenza.
Usare $D_i(0)$ o “cancellare” una riga che non è nulla: si perde un’equazione e il sistema non è più equivalente.
Sommare a una riga un multiplo di sé stessa ( $E_{ii}$ ): non è un’operazione elementare.
Credere che il pivot sia sempre sulla diagonale: lo scalino può saltare colonne (piano $x + 2y = 3$ , pivot solo in colonna $x$ ).
Prendere come variabile libera una colonna con pivot. Le libere sono le colonne senza pivot, e sono tante quante le incognite meno i pivot.
Scambiare la forma a scalini per unica: è unica solo la ridotta per righe.

7Domande

Quali sono le tre operazioni elementari su un sistema lineare, e come si scrivono sulla matrice?
Cosa fa l’operazione $E_{ij}(\mu)$ ? Quale riga cambia?
Perché nelle operazioni elementari lo scalare deve essere non nullo?
Perché le operazioni elementari non cambiano le soluzioni di un sistema?
Quando una matrice è a scalini? Dai la definizione della prof con le due proprietà.
Cos’è un pivot?
Quando una matrice a scalini è ridotta per righe?
Quali sono i passi dell’algoritmo di Gauss-Jordan?
Quali sono i passi della riduzione all’indietro?
La forma a scalini di una matrice è unica? E la forma ridotta per righe?
Come si riconoscono le variabili libere in una matrice ridotta, e quante sono?
Come si passa da equazioni cartesiane a parametriche di una retta con Gauss-Jordan? Quanti parametri servono per una retta e per un piano?