Trasformazioni di grafici · Analisi 1

Argomento di Analisi Matematica 1, nozioni preliminari, sezione 1.6. Fatto a lezione il 21/9, slide 85-92: slide annotate dell’esercitazione del 21/9 (in quel PDF sono numerate 77-84 su un altro deck). Serve tutto di Funzioni elementari: il grafico di partenza è sempre uno dei mattoni di quella lista.

L’idea. Non si studia da zero il grafico di $2\big||x-1| - 2\big| - 2$ . Si parte da $|x|$ , che sai a memoria, e si applicano una alla volta le modifiche che l’espressione descrive. Ogni modifica sposta, ribalta o stira il grafico precedente, e alla fine il disegno esce senza calcolare un solo punto.

La regola che tiene insieme tutto:

   modifica SULL'ARGOMENTO        ->  agisce in ORIZZONTALE, al contrario
   f(x + a),  f(kx)                   (+a sposta a sinistra, k>1 comprime)

   modifica SUL RISULTATO         ->  agisce in VERTICALE, come ti aspetti
   f(x) + a,  k·f(x),  |f(x)|         (+a sposta in alto, k>1 dilata)

Il “al contrario” dell’orizzontale è la sorpresa: $f(x + 1)$ sposta il grafico a sinistra, non a destra. Il motivo è che l’argomento raggiunge un dato valore prima, cioè per una $x$ più piccola.

1Definizioni

1.1Funzioni definite a tratti

Le funzioni elementari si combinano con somma, prodotto, composizione. Si possono anche definire a tratti: si divide il dominio in più parti e si dà una legge diversa in ciascuna. Il valore assoluto è già un esempio; quello della slide 86 è:

f(x) = \begin{cases} \dfrac{x}{2} & \text{se } x \leq 0 \\ 1 & \text{se } 0 < x \leq 1 \\ \log x & \text{se } x > 1 \end{cases}

In $x = 0$ vale $0$ (primo ramo) e subito dopo salta a $1$ ; in $x = 1$ vale $1$ (secondo ramo) e subito dopo riparte da $\log 1 = 0$ . Il pallino pieno segna dove il punto appartiene al grafico, quello vuoto dove no.

Le condizioni devono coprire tutto il dominio e non sovrapporsi, altrimenti o la funzione non è definita da qualche parte o assegna due valori alla stessa $x$ , e allora non è una funzione.

1.2Riflessioni

$-f(x)$ : riflessione del grafico rispetto all’asse $x$ . Ogni punto $(x, y)$ diventa $(x, -y)$ .
$f(-x)$ : riflessione rispetto all’asse $y$ . Ogni punto $(x, y)$ diventa $(-x, y)$ .

Da qui si rileggono le simmetrie viste in Funzioni: $f$ è pari quando $f(-x) = f(x)$ , cioè quando riflettere rispetto all’asse $y$ lascia il grafico identico; è dispari quando $f(-x) = -f(x)$ , cioè quando le due riflessioni danno lo stesso risultato.

1.3Valore assoluto, parte positiva, parte negativa

Tre modi di rendere non negativa una funzione, e fanno cose diverse.

|f(x)| \qquad f_+(x) = \begin{cases} f(x) & \text{se } f(x) \geq 0 \\ 0 & \text{se } f(x) < 0 \end{cases} \qquad f_-(x) = \begin{cases} -f(x) & \text{se } f(x) \leq 0 \\ 0 & \text{se } f(x) > 0 \end{cases}

$|f|$ ribalta in su i tratti sotto l’asse $x$ e lascia gli altri dove sono.
$f_+$ tiene i tratti sopra l’asse e schiaccia a zero quelli sotto.
$f_-$ fa il contrario: ribalta in su i tratti sotto e azzera quelli sopra.

Valgono le identità $f = f_+ - f_-$ e $|f| = f_+ + f_-$ .

Da non confondere con $f(|x|)$ , che è tutta un’altra cosa: lì il modulo sta sull’argomento, quindi butta via la metà sinistra del grafico e la rimpiazza con la copia riflessa della metà destra.

1.4Traslazioni

Con $a \in \mathbb{R}$ :

$f(x) + a$ : traslazione verticale, verso l’alto se $a > 0$ , verso il basso se $a < 0$ .
$f(x + a)$ : traslazione orizzontale, verso sinistra se $a > 0$ , verso destra se $a < 0$ .

Il perché, dalle annotazioni del 21/9 (pagine 36-37): se $f(0) = 0$ , allora $f(x - 3) = 0$ per $x = 3$ , cioè lo zero si è spostato in $3$ . In generale $f(x_0) = f\big((x_0 - a) + a\big)$ : il valore che $f$ aveva in $x_0$ , la funzione $f(x + a)$ lo assume in $x_0 - a$ . Ogni punto “si sposta” in $x_0 - a$ .

1.5Riscalamenti

Con $k > 0$ :

$k \cdot f(x)$ : riscalamento verticale, una modulazione di ampiezza. Dilata se $k > 1$ , comprime se $0 < k < 1$ . I punti dove $f$ vale zero restano fermi.
$f(k \cdot x)$ : riscalamento orizzontale, una modulazione di frequenza. Comprime se $k > 1$ , dilata se $0 < k < 1$ . Il punto sull’asse $y$ resta fermo.

Gli esempi annotati il 21/9 (pagine 42-43), con una $f$ che vale $f(1) = 3$ nel suo massimo:

$h(x) = f(2x)$ : per avere ancora il valore $3$ serve $2x = 1$ , cioè $x = \frac12$ , e $h\left(\frac12\right) = 3$ . Il massimo si avvicina all’asse $y$ : compressione.
$g(x) = f\left(\frac12 x\right)$ : serve $\frac12 x = 1$ , cioè $x = 2$ , e $g(2) = 3$ . Il massimo si allontana: dilatazione.

Sul riscalamento verticale il commento del PDF (pagina 40): con $k < 0$ in $k f(x)$ c’è anche una riflessione rispetto all’asse $x$ , oltre alla compressione o dilatazione, perché $k f(x) = -\big(|k| f(x)\big)$ .

Su una funzione periodica il riscalamento orizzontale si legge sul periodo: se $f$ ha periodo $T$ , allora $f(kx)$ ha periodo $\frac{T}{k}$ . Con $k > 1$ il periodo si accorcia, cioè le oscillazioni si infittiscono.

2Enunciati

2.1Schema completo

Le sei trasformazioni

espressione	effetto	direzione
$f(x) + a$	trasla di $a$	verticale, in alto se $a > 0$
$f(x + a)$	trasla di $-a$	orizzontale, a sinistra se $a > 0$
$k \cdot f(x)$ , $k > 0$	scala di $k$	verticale, dilata se $k > 1$
$f(k \cdot x)$ , $k > 0$	scala di $\frac{1}{k}$	orizzontale, comprime se $k > 1$
$-f(x)$	riflette	rispetto all’asse $x$
$f(-x)$	riflette	rispetto all’asse $y$

Le righe orizzontali hanno sempre l’effetto inverso di quello che il numero suggerisce, le verticali no.

2.2L’ordine conta

Per non sbagliare si legge l’espressione dall’interno verso l’esterno, nello stesso ordine in cui la calcoleresti con un numero al posto della $x$ : prima quello che tocca l’argomento, poi quello che tocca il risultato.

3Metodo

3.1Disegnare un grafico per trasformazioni successive

Riconosci il mattone di partenza: la funzione elementare dentro l’espressione.
Scomponi l’espressione in una catena di operazioni, ordinandole come le eseguiresti su un numero: prima le modifiche dell’argomento (dall’interno in fuori), poi le modifiche del risultato.
Applica una trasformazione alla volta, ridisegnando il grafico a ogni passo. Non saltare passi.
Verifica su due o tre punti notevoli: calcola $f$ con i numeri e controlla che il disegno passi di lì. Buoni candidati sono i vertici, gli zeri e $f(0)$ .

Esempio svolto a lezione:

y = 2\big||x-1| - 2\big| - 2

Mattone di partenza. $f_0(x) = |x|$ .

La catena. Dall’interno verso l’esterno:

|x| \ \to\ |x-1| \ \to\ |x-1| - 2 \ \to\ \big||x-1|-2\big| \ \to\ 2\big||x-1|-2\big| \ \to\ 2\big||x-1|-2\big| - 2

$|x - 1|$ : argomento $x + a$ con $a = -1$ , quindi traslazione orizzontale a destra di $1$ . Il vertice va da $(0,0)$ a $(1,0)$ .
$|x-1| - 2$ : traslazione verticale in basso di $2$ . Vertice in $(1,-2)$ , e il grafico taglia l’asse $x$ dove $|x-1| = 2$ , cioè in $x = -1$ e $x = 3$ .
$\big||x-1|-2\big|$ : modulo esterno, ribalta in su il tratto negativo. Quel tratto è quello fra $-1$ e $3$ , e il vertice $(1,-2)$ diventa un picco in $(1, 2)$ . Nascono due nuovi vertici a terra in $(-1, 0)$ e $(3, 0)$ .
$2\big|\cdots\big|$ : dilatazione verticale di fattore $2$ . I due zeri restano fermi, il picco sale a $(1, 4)$ .
$\cdots - 2$ : traslazione in basso di $2$ . Punti notevoli finali: $(-1, -2)$ , $(1, 2)$ , $(3, -2)$ .

Verifica con i numeri. In $x = 1$ : $2\big||0| - 2\big| - 2 = 2 \cdot 2 - 2 = 2$ , e il disegno dà $2$ . In $x = 3$ : $2\big||2| - 2\big| - 2 = 0 - 2 = -2$ , e il disegno dà $-2$ . In $x = 0$ : $2\big||{-1}| - 2\big| - 2 = 2 \cdot 1 - 2 = 0$ .

$-2$ o $-1$ alla fine?

Il quaderno ha $y = 2\big||x-1|-2\big| - 2$ . Il PDF del 21/9 (pagina 44) scrive lo stesso esempio come $y = 2\big||x-1|-2\big| - 1$ , con la stessa catena di nomi: $f_0 = |x|$ , $f_1(x) = f_0(x-1)$ , $f_2 = f_1 - 2$ , $f_3 = |f_2|$ , $f_4 = 2f_3$ , $f_5 = f_4 - 1$ . Il metodo non cambia: cambia solo l’ultima traslazione, in basso di $1$ invece che di $2$ , e i punti notevoli finali diventano $(-1, -1)$ , $(1, 3)$ , $(3, -1)$ . Dalle fonti non si capisce quale delle due il prof abbia scritto alla lavagna: il PDF è quello pubblicato su Moodle.

4Esempi svolti a lezione

L’esempio della catena di moduli, $y = 2\big||x-1| - 2\big| - 2$ (sul PDF $-1$ alla fine), è svolto sopra nel Metodo (quaderno del 21/9, pagina 26; PDF, pagina 44). Sulla stessa pagina il quaderno riassume le riflessioni: $-f(x)$ è la riflessione rispetto all’asse $x$ , $f(-x)$ rispetto all’asse $y$ (slide 87).

Le altre annotazioni del PDF sono esempi lampo, riportati nelle definizioni sopra: lo zero di $f(x - 3)$ spostato in $3$ , i valori $h\left(\frac12\right) = 3$ e $g(2) = 3$ per i riscalamenti orizzontali, il commento su $k < 0$ . Sulla slide 88 (pagina 31) il modulo di $f$ è scritto a tratti, $|f(x)| = -f(x)$ dove $f(x) < 0$ e $|f(x)| = f(x)$ dove $f(x) \geq 0$ , e c’è l’identità $f = f_+ - f_-$ .

5Esercizi tipo esame

5.1Crocette (stile parte 1)

C1. Il grafico di $y = f(x + 2) - 1$ si ottiene da quello di $f$ traslando: a) di $2$ a destra e di $1$ in basso b) di $2$ a sinistra e di $1$ in basso c) di $2$ a sinistra e di $1$ in alto d) di $2$ a destra e di $1$ in alto

Soluzione

b. $f(x + a)$ con $a = 2 > 0$ sposta a sinistra; $-1$ sul risultato sposta in basso.

C2. Quante soluzioni reali ha l’equazione $|x^2 - 1| = \frac12$ ? a) $0$ b) $2$ c) $3$ d) $4$

Soluzione

d. Il grafico di $|x^2 - 1|$ è la parabola $x^2 - 1$ con il tratto fra $-1$ e $1$ ribaltato in su: una “W” con minimi $0$ in $\pm1$ e un picco $1$ in $0$ . La retta $y = \frac12$ sta fra $0$ e $1$ , quindi taglia ciascuno dei quattro tratti una volta. Coi conti: $x^2 = \frac32$ oppure $x^2 = \frac12$ , cioè $x = \pm\frac{\sqrt6}{2}, \pm\frac{\sqrt2}{2}$ .

C3. $f(x) = \sin(3x)$ ha periodo: a) $6\pi$ b) $3\pi$ c) $\frac{2\pi}{3}$ d) $2\pi$

Soluzione

c. $f(kx)$ con $k = 3 > 1$ comprime in orizzontale di un fattore $3$ : il periodo $2\pi$ diventa $\frac{2\pi}{3}$ .

5.2Esercizi (stile parte 2)

Esercizio 1. Disegnare il grafico di $y = -\dfrac{1}{2}\big|2x + 4\big| + 3$ con le trasformazioni, verificandolo su $x = -2$ , $x = 0$ e sugli zeri.

Soluzione

Prima si semplifica. $|2x + 4| = |2(x + 2)| = 2|x + 2|$ , quindi $y = -\frac12 \cdot 2|x+2| + 3 = -|x + 2| + 3$ .

Catena dall’interno: $|x| \to |x + 2|$ (a sinistra di $2$ , vertice in $(-2, 0)$ ) $\to -|x + 2|$ (riflessione rispetto all’asse $x$ , la V si capovolge) $\to -|x+2| + 3$ (in alto di $3$ , vertice in $(-2, 3)$ ).

Verifica. $x = -2$ : $-\frac12 \cdot 0 + 3 = 3$ , il vertice. $x = 0$ : $-\frac12 \cdot 4 + 3 = 1$ . Zeri: $|x + 2| = 3$ , cioè $x = 1$ e $x = -5$ . Tutti e quattro i punti stanno sul disegno.

Senza semplificare si arriva allo stesso punto con più passi: $|x| \to |x+4|$ (sinistra di $4$ ) $\to |2x + 4|$ (compressione orizzontale di $2$ , vertice da $-4$ a $-2$ ) $\to -\frac12|2x+4|$ (dimezza e capovolge) $\to +3$ .

Esercizio 2 (foglio 1, es. 2 d ed e). Disegnare $y = -\sqrt[3]{x + 1} - 1$ e $y = -2^{x - 1}$ , indicando le trasformazioni e un paio di punti.

Soluzione

$y = -\sqrt[3]{x+1} - 1$ . Da $\sqrt[3]{x}$ (dispari, crescente, passa per $(0,0)$ , $(1,1)$ , $(-1,-1)$ ): $\sqrt[3]{x+1}$ sposta a sinistra di $1$ ; il meno davanti riflette rispetto all’asse $x$ (ora decrescente); $-1$ sposta in basso. Il centro di simmetria passa da $(0, 0)$ a $(-1, -1)$ . Punti: $x = -1 \Rightarrow y = -1$ ; $x = 0 \Rightarrow y = -2$ ; $x = -2 \Rightarrow y = 0$ ; $x = 7 \Rightarrow y = -3$ .

$y = -2^{x-1}$ . Da $2^x$ (positiva, crescente, passa per $(0, 1)$ , asintoto $y = 0$ a sinistra): $2^{x-1}$ sposta a destra di $1$ , quindi passa per $(1, 1)$ ; il meno riflette rispetto all’asse $x$ : il grafico sta tutto sotto l’asse, decrescente, passa per $(1, -1)$ e $(0, -\frac12)$ , e si avvicina a $y = 0$ da sotto per $x \to -\infty$ . Immagine $(-\infty, 0)$ .

Esercizio 3. Disegnare $y = \big||x| - 1\big|$ e dire, al variare di $k \in \mathbb{R}$ , quante soluzioni ha $\big||x| - 1\big| = k$ .

Soluzione

Catena. $|x| \to |x| - 1$ (in basso di $1$ : V con vertice $(0, -1)$ , zeri in $\pm 1$ ) $\to \big||x| - 1\big|$ (il tratto negativo fra $-1$ e $1$ si ribalta: vertice in $(0, 1)$ ). Esce una “W” con minimi $0$ in $x = \pm 1$ e un picco $1$ in $x = 0$ .

Conteggio, facendo scorrere la retta $y = k$ :

$k < 0$ : nessuna soluzione (un modulo non è negativo);
$k = 0$ : due soluzioni, $x = \pm 1$ ;
$0 < k < 1$ : quattro soluzioni (per $k = \frac12$ : $\pm\frac12$ , $\pm\frac32$ );
$k = 1$ : tre soluzioni, $x = 0, \pm 2$ ;
$k > 1$ : due soluzioni, $x = \pm(1 + k)$ .

6Errori tipici

Spostare dalla parte sbagliata in orizzontale. $f(x + 2)$ va a sinistra.
Confondere $|f(x)|$ con $f(|x|)$ . Il primo ribalta in su le parti sotto l’asse $x$ ; il secondo sostituisce la metà sinistra con la copia riflessa della destra.
Sbagliare l’ordine delle trasformazioni. $k(f(x) + a)$ e $k f(x) + a$ sono diversi: si legge dall’interno verso l’esterno.
Dimenticare di semplificare: $|2x + 4| = 2|x + 2|$ trasforma una compressione in una dilatazione verticale, spesso più facile da disegnare.
Non verificare sui punti. Due o tre valori calcolati a mano scoprono subito un segno sbagliato.

7Domande

Perché $f(x + 2)$ sposta il grafico a sinistra e non a destra?
Qual è la differenza fra $|f(x)|$ e $f(|x|)$ sul grafico?
Descrivi cosa fanno $f_+$ e $f_-$ ai tratti del grafico sopra e sotto l’asse $x$ .
Che relazione c’è fra $f$ , $f_+$ , $f_-$ e $|f|$ ?
$f(3x)$ comprime o dilata il grafico in orizzontale? E che fine fa il periodo se $f$ è periodica di periodo $T$ ?
Quali punti restano fermi in un riscalamento verticale $k f(x)$ ? E in uno orizzontale $f(kx)$ ?
Come si rileggono “pari” e “dispari” in termini di riflessioni?
$k(f(x) + a)$ e $k f(x) + a$ danno lo stesso grafico? Perché?
In che ordine si applicano le trasformazioni leggendo un’espressione come $2\big||x-1|-2\big|-2$ ?
Come si usa il grafico per contare le soluzioni di $f(x) = k$ al variare di $k$ ?