Numeri complessi

Argomento di Analisi Matematica 1, capitolo 2. Fatto a lezione il 22/9, slide 1-23 di 50 (slide annotate del 22/9), e il 23/9, slide 21-39 (slide annotate del 23/9). Il 28/9 il prof ha chiuso il capitolo, slide 40-50 (slide annotate del 28/9): teorema delle radici, radici dell’unità, teorema fondamentale dell’algebra, luoghi nel piano. Esercizi svolti dal docente su Moodle: Esercizi svolti complessi. Vocabolario: Linguaggio matematico.

Il filo dell’argomento, nell’ordine delle lezioni:

x² + 1 = 0          in R non ha soluzioni: manca un numero il cui quadrato è -1
      |
      v  2.1 forma cartesiana (22/9)
C = R × R, i = (0,1)    z = x + iy, somma e prodotto con i² = -1
      |
      v  2.2 coniugato, modulo, reciproco (22/9)
z̄, |z|, z⁻¹          quozienti; equazioni col metodo 1 (Re = 0, Im = 0)
      |
      v  2.3 forma trigonometrica ed esponenziale (22-23/9)
z = |z|(cos θ + i sin θ) = |z|e^(iθ)      prodotto: moduli per, argomenti più
      |
      v
De Moivre           zⁿ = |z|ⁿ e^(inθ); equazioni col metodo 2 (modulo e argomento)
      |
      v  2.4 radici (23/9 e 28/9)
radici n-esime      |z| = ⁿ√|w|, α = (θ + 2kπ)/n, k = 0, ..., n-1
      |             esattamente n, vertici di un poligono regolare
      v
teorema fondamentale dell'algebra    grado n  =>  n soluzioni in C, con molteplicità
      |
      v  2.5 rappresentazione grafica (28/9)
|z - z0| = distanza      circonferenze, dischi, assi di segmenti, semipiani

1Definizioni

1.1Perché servono (slide 2-3)

Due equazioni di secondo grado messe una accanto all’altra:

La prima ha due soluzioni reali, $x_1 = -1$ e $x_2 = 2$, e il polinomio si scompone in fattori di primo grado: $x^2 - x - 2 = (x+1)(x-2)$. La seconda in $\mathbb{R}$ non ha soluzioni (il prof disegna la parabola tutta sopra l’asse $x$), e il polinomio $x^2 + x + 1$ non si scompone.

Secondo problema, che sembra diverso ma è lo stesso: quanto fa $\sqrt{-1}$? Nessun reale ha quadrato negativo. Trovare $\sqrt{-1}$ vuol dire risolvere $x^2 = -1$, cioè cercare le radici di $x^2 + 1$.

$\mathbb{R}$ è “troppo piccolo” per garantire la scomponibilità di tutti i polinomi di secondo grado. Si costruisce allora un sistema numerico che estende quello dei reali: il campo dei numeri complessi $\mathbb{C}$.

1.2L’insieme $\mathbb{C}$ (slide 6)

Ordinata vuol dire che $(1, 2)$ e $(2, 1)$ sono due numeri diversi.

Un numero reale $x$ si identifica con il numero complesso $(x, 0)$: il prof annota “numeri reali: seconda coordinata nulla”. Con questa identificazione $\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$, e $1 = (1, 0)$, $0 = (0, 0)$.

I numeri complessi della forma $(0, y)$ con $y \neq 0$ non corrispondono ad alcun numero reale e sono detti immaginari puri. In particolare si definisce l’unità immaginaria

1.3Forma cartesiana e piano di Gauss (slide 7-8)

Si rappresentano i numeri complessi come punti del piano, il piano complesso o piano di Gauss. Se $z = (x, y)$:

• $x = \mathrm{Re}(z)$ è la parte reale di $z$;
• $y = \mathrm{Im}(z)$ è la parte immaginaria di $z$ (è un numero reale, la $i$ non ci sta dentro).

Sull’asse orizzontale (asse reale) la parte reale, su quello verticale (asse immaginario) la parte immaginaria.

Due numeri complessi sono uguali se e solo se hanno le stesse parti reali e immaginarie:

È il principio che fa funzionare metà degli esercizi: un’equazione complessa vale per due equazioni reali.

Le operazioni di partenza (slide 8): somma, e prodotto per un numero reale $a$:

Con queste, come scrive il prof, si spezza la coppia in parte reale e immaginario puro:

D’ora in poi ogni numero complesso si scrive in forma cartesiana (o algebrica):

1.4Somma e prodotto (slide 9-10)

Siano $z_1 = x_1 + iy_1$ e $z_2 = x_2 + iy_2$.

Somma. Componente per componente: $\mathrm{Re}(z_1 + z_2) = \mathrm{Re}(z_1) + \mathrm{Re}(z_2)$, $\mathrm{Im}(z_1 + z_2) = \mathrm{Im}(z_1) + \mathrm{Im}(z_2)$.

Geometricamente è la regola del parallelogramma: $z_1 + z_2$ è la diagonale del parallelogramma costruito sui vettori $z_1$ e $z_2$.

Prodotto.

Queste operazioni estendono le usuali somma e prodotto su $\mathbb{R}$: se $y_1 = y_2 = 0$ ridanno quelle di sempre.

Il conto di $i^2$ (slide 10), con la regola del prodotto applicata a $x_1 = x_2 = 0$, $y_1 = y_2 = 1$:

Dunque l’equazione $z^2 + 1 = 0$ ha soluzione in $\mathbb{C}$.

Con $i^2 = -1$ il prodotto non si impara più a memoria: si svolge come un prodotto di binomi e si sostituisce alla fine. Il prof lo rilegge così:

Esempio del prof (slide 10, svolto a lezione).

Con $-4i^2 = 4$: $\ = -6 + 4 + i(3 + 8) = -2 + 11i$. La somma $(3 - 4i) + (-2 + i)$ è lasciata per casa: è l’esercizio 1 in fondo.

1.5Coniugato e modulo (slide 12)

Geometricamente: $\bar{z}$ è la riflessione di $z$ rispetto all’asse reale (il prof disegna $z$ e $\bar z$ con $y$ e $-y$); $|z|$ è la distanza dall’origine, cioè “la lunghezza del vettore da $0$ a $z$”. Il prof verifica anche $|\bar z| = \sqrt{x^2 + (-y)^2} = \sqrt{x^2 + y^2} = |z|$.

Se $z$ è reale ($y = 0$), il modulo è il valore assoluto di sempre: $|z| = \sqrt{x^2} = |x|$ (nota della slide 14).

1.6Reciproco e divisione (slide 15)

Il prof lo verifica con la proprietà 4 ($z\bar z = |z|^2$, sotto):

Controllo sui reali, annotato a mano: se $z = x + 0 \cdot i$, allora $z^{-1} = \frac{x}{x^2} = \frac1x$, il reciproco reale di $x$.

Serve $z \neq 0$ perché altrimenti $|z|^2 = 0$. In pratica, per calcolare un quoziente si moltiplica sopra e sotto per il coniugato del denominatore, così il denominatore diventa reale:

1.7Forma trigonometrica (slide 22-23)

Un punto del piano si individua anche con le coordinate polari $(\rho, \theta) \in [0, +\infty) \times [0, 2\pi)$:

• $\rho = |z|$, la distanza del punto $z$ dall’origine (il prof: ”$\rho$: lunghezza”);
• $\theta = \mathrm{Arg}(z)$, l’angolo individuato dal segmento che congiunge $z$ all’origine e il semiasse positivo delle $x$, detto argomento principale di $z$. Annotazione: l’angolo è ben definito se e solo se $z \neq 0$.

Dalla trigonometria sul triangolo rettangolo:

Sostituendo in $z = x + iy$ si ottiene la rappresentazione in forma trigonometrica:

Nota della slide 23:

• per $z = 0$ l’argomento non è definito, ma la (1) resta ammissibile perché $|z| = 0$;
• per ogni $z \neq 0$ l’argomento principale $\theta = \mathrm{Arg}(z)$ sta in $[0, 2\pi)$ ed è univocamente determinato. A $\theta$ si può aggiungere un qualunque multiplo di $2\pi$: si indica con $\arg(z)$ (argomento di $z$) un qualunque angolo che differisce da $\mathrm{Arg}(z)$ per un multiplo di $2\pi$.

Viceversa (pagina 7 del 23/9): dato $z = \rho(\cos\theta + i\sin\theta)$, per passare alla forma algebrica $z = a + ib$ si pone $a := \rho\cos\theta$, $b := \rho\sin\theta$.

1.8Forma esponenziale (slide 32-33)

Dato $\theta \in \mathbb{R}$, si introduce la notazione (solo simbolica):

Il prof annota che $e^{i\theta}$ è il numero complesso di modulo $1$ e argomento $\theta$. Con questa notazione la forma trigonometrica diventa la forma esponenziale:

La regola del prodotto è coerente con le usuali regole degli esponenziali: $|z_1|e^{i\theta_1} \cdot |z_2|e^{i\theta_2} = |z_1||z_2| e^{i(\theta_1 + \theta_2)}$. Il prof lo legge così: il modulo è $|z_1||z_2|$, e $e^{i(\theta_1+\theta_2)}$ è il numero complesso di modulo $1$ e argomento $\theta_1 + \theta_2$.

Uguaglianza notevole (slide 33): $z = e^{i\pi}$ ha $|z| = 1$ e $\arg(z) = \pi$, quindi $e^{i\pi} = -1$, cioè

1.9Radice $n$-esima (slide 38)

Il prof annota: “questa equazione ha $n$ soluzioni complesse”. Qui la radice non è un numero solo, è un insieme di $n$ numeri. Già in $\mathbb{R}$ si vede l’avvisaglia ($x^2 = 4$ ha due soluzioni), ma in $\mathbb{C}$ diventa la regola: per esempio $z^2 = -1$ ha le due soluzioni $i$ e $-i$, le radici quadrate di $-1$.

2Enunciati

2.1Proprietà del coniugato e del modulo (slide 13)

A lezione il prof ha dimostrato la 1, la 3, la 4 e la 6; la 2 e la 5 sono “per casa”. In tutte le dimostrazioni si scrive $z = a + ib$ e $w = c + id$ con $a, b, c, d \in \mathbb{R}$.

Significato geometrico (slide 14). In un triangolo qualsiasi la lunghezza di un lato è sempre minore della somma delle lunghezze degli altri due. Il prof disegna il triangolo di vertici $A = 0$, $B = z + w$, $C = z$: il lato $AC$ è lungo $|z|$, il lato $CB$ è una copia del vettore $w$, lunga $|w|$, e il lato $AB$ è lungo $|z + w|$. Applicando la disuguaglianza triangolare “geometrica” a questo triangolo si ottiene la proprietà 7: $\mathrm{lungh}(AB) \leq \mathrm{lungh}(AC) + \mathrm{lungh}(CB)$.

2.2Prodotto e quoziente in forma trigonometrica (slide 25-27)

Moltiplicare per $z_2$ vuol dire ruotare di $\theta_2$ e dilatare di $|z_2|$. L’interpretazione geometrica della slide 26 usa due numeri di modulo $1$: il prodotto ha ancora modulo $|z_1||z_2| = 1 \cdot 1 = 1$ e argomento $\theta_1 + \theta_2$, cioè si ruota sulla circonferenza unitaria. Si usa $\arg$ e non $\mathrm{Arg}$ perché sommando due angoli si può uscire da $[0, 2\pi)$.

2.3Formula di De Moivre (slide 28)

La formula del prodotto si generalizza a $n$ fattori: dati $z_j = |z_j|(\cos\theta_j + i \sin\theta_j)$, $j = 1, \dots, n$,

Annotazione del prof: modulo = prodotto dei moduli, argomento = somma degli argomenti. Con tutti i fattori uguali si ottiene la formula per le potenze.

Il prof annota il caso $n = 0$: $z^0 = 1$.

Il guadagno è pratico: $(1+i)^{20}$ in forma cartesiana richiederebbe venti moltiplicazioni, in forma trigonometrica è un modulo elevato a venti e un angolo moltiplicato per venti.

2.4Formula delle radici $n$-esime (slide 39)

2.5Teorema delle radici $n$-esime (slide 40, 28/9)

È il riassunto della derivazione della slide 39: il numero complesso $w$ ha esattamente $n$ radici complesse. In $\mathbb{R}$ le radici erano zero, una o due; in $\mathbb{C}$ sono sempre $n$.

Dove stanno (slide 42). Tutte le radici hanno lo stesso modulo $|w|^{1/n}$, quindi stanno sulla circonferenza centrata nell’origine di raggio $\sqrt[n]{|w|}$. I loro argomenti partono da $\frac{\theta}{n}$ e crescono ogni volta di $\frac{2\pi}{n}$: le radici occupano i vertici di un poligono regolare di $n$ lati inscritto in quella circonferenza. Basta trovare la prima, $z_0$, e le altre si ottengono ruotando di $\frac{2\pi}{n}$.

2.6Radici dell’unità (slide 41)

Con $w = 1$: il prof annota $1 = 1 \cdot e^{i \cdot 0}$, cioè $|w| = 1$ e $\theta = 0$. La formula del teorema dà

Le radici complesse dell’unità sono i vertici del poligono regolare di $n$ lati inscritto nella circonferenza di raggio $1$ e con un vertice nel punto $(1, 0)$, cioè $z_0 = 1$. Il prof indica i due disegni della slide: $n = 3$ (triangolo equilatero) e $n = 6$ (esagono).

2.7Teorema fondamentale dell’algebra (slide 44-45)

Il prof parte da quello che si è visto:

• $z^2 + a = 0$ significa $z^2 = -a$: le soluzioni sono le radici quadrate di $-a$, e in $\mathbb{C}$ sono sempre due (mentre in $\mathbb{R}$ possono mancare). Più in generale, ogni equazione di secondo grado ha 2 soluzioni in $\mathbb{C}$;
• $z^n + a = 0$ significa $z^n = -a$: le soluzioni sono le radici $n$-esime di $-a$, e in $\mathbb{C}$ sono $n$.

Il risultato si generalizza a qualunque equazione di grado $n$.

Le annotazioni del prof: il grado è la potenza massima con coefficiente diverso da zero (per questo $a_n \neq 0$); i coefficienti $a_k$ possono essere complessi, non solo reali.

Formulazione equivalente (slide 45), con un leggero cambio di punto di vista: un polinomio in $\mathbb{C}$ si può sempre scomporre nel prodotto di fattori di primo grado.

Il prof annota: gli $z_j$ sono le radici del polinomio, $z$ è la variabile. Le due formulazioni dicono la stessa cosa: $z_j$ è soluzione di $p(z) = 0$ se e solo se $(z - z_j)$ è un fattore di $p$. “Non necessariamente distinti” è la molteplicità: in $(z - 1)^2(z + 2)$ la radice $1$ compare due volte.

È la risposta ai due problemi da cui era partito il capitolo (slide 2-3): in $\mathbb{R}$ il polinomio $x^2 + x + 1$ non si scompone, in $\mathbb{C}$ sì, perché ogni polinomio si scompone.

3Metodo

3.1Trovare l’argomento: il metodo del prof e dove va corretto

A lezione (23/9, pagine 4-6) il prof scrive $z = a + ib$ e ricava l’angolo in due modi.

Modo 1: arcocoseno. Da $a = |z|\cos\theta$ segue $\cos\theta = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$, e il prof scrive

Modo 2: arcotangente. Da $\frac{b}{a} = \tan\theta$:

e il prof aggiunge che per decidere $k$ bisogna guardare il segno di $a$ e di $b$, cioè il quadrante:

In pratica, il metodo che non sbaglia.

1. Calcola $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$.
2. Guarda dove cade $(a, b)$ nel piano: è un disegno di cinque secondi e decide il quadrante.
3. Cerca l’angolo che soddisfa entrambe $\cos\theta = \frac{a}{|z|}$ e $\sin\theta = \frac{b}{|z|}$ (è come fa il prof negli esempi della slide 24: scrive sempre le due equazioni).

Gli angoli notevoli da riconoscere a colpo d’occhio:

3.2Equazioni in $\mathbb{C}$, metodo 1: parte reale e parte immaginaria (slide 18)

Si usa quando l’equazione mescola $z$ con $\bar{z}$, $\mathrm{Re}(z)$, $\mathrm{Im}(z)$ o $|z|$, e i gradi sono bassi. Il principio: un numero complesso è zero se e solo se parte reale e parte immaginaria sono entrambe nulle,

Il metodo risolutivo, nelle parole annotate dal prof: scrivere $z$ come un generico numero complesso $z = x + iy$, poi, dopo aver sviluppato il membro sinistro, uguagliarne separatamente parte reale e parte immaginaria a zero.

1. porre $z = x + iy$ con $x, y \in \mathbb{R}$;
2. portare tutto a sinistra, sviluppare e separare parte reale e parte immaginaria;
3. imporre che siano entrambe nulle: sistema di due equazioni reali in $x$ e $y$;
4. risolvere, di solito partendo dall’equazione che si fattorizza (spesso quella immaginaria, del tipo $y(\dots) = 0$), e distinguendo i casi;
5. ricomporre le soluzioni $z = x + iy$ e verificarne almeno una.

3.3Equazioni in $\mathbb{C}$, metodo 2: modulo e argomento (slide 34)

Si usa quando ci sono potenze. Il principio: due numeri complessi sono uguali se e solo se hanno lo stesso modulo e lo stesso argomento, a meno di un multiplo di $2\pi$:

I passi:

1. porre $z = \rho e^{i\alpha}$ con $\rho \geq 0$;
2. portare entrambi i membri in forma esponenziale, usando De Moivre sulle potenze. Un membro reale positivo (come $|z|$ o $|z|^2 + 2$) ha argomento $0$;
3. eguagliare i moduli (equazione reale in $\rho$) e gli argomenti a meno di $2k\pi$;
4. risolvere in $\rho$, scartando le soluzioni negative;
5. ricavare gli $\alpha$ facendo variare $k$, e tenere solo quelli che danno numeri distinti;
6. trattare a parte il caso $z = 0$, dove l’argomento non è definito: si controlla a mano se è soluzione.

Il passo 6 è quello che si dimentica.

3.4Radici $n$-esime: i passi

1. Scrivi $w$ in forma esponenziale: $|w|$ e un argomento $\theta$ (disegno del punto, poi $\cos\theta$ e $\sin\theta$).
2. Modulo delle radici: $\sqrt[n]{|w|}$, una radice reale positiva.
3. Argomenti: $\frac{\theta}{n} + k\frac{2\pi}{n}$ per $k = 0, \dots, n-1$. Si parte da $\frac\theta n$ e si aggiunge ogni volta $\frac{2\pi}{n}$.
4. Se servono in forma cartesiana, si calcolano coseno e seno degli angoli. Se gli angoli non sono notevoli si lasciano in forma trigonometrica.
5. Controllo veloce: sono $n$, hanno tutte lo stesso modulo, e una a scelta elevata alla $n$ deve ridare $w$.

Un’equazione come $(z + 1)^3 = -i$ si riporta a questo caso con la sostituzione $u = z + 1$: si trovano le radici terze di $-i$ e poi $z = u - 1$.

3.5Luoghi nel piano: disegnare equazioni e disequazioni (slide 47-48)

In alcuni casi si possono rappresentare nel piano complesso $\mathbb{C} = \mathbb{R}^2$ le soluzioni di equazioni o disequazioni. La chiave è che, dati $z = x + iy$ e $z_0 = x_0 + iy_0$, la quantità