Limiti di successioni

Argomento di Analisi Matematica 1, capitolo 3 (“L’operazione di limite: limiti di successioni”, deck da 68 slide). Fatto a lezione il 28/9, slide 1-12 (slide annotate del 28/9), e il 30/9, slide 12-25 (slide annotate del 30/9). Il prof si è fermato agli esempi di sottosuccessioni (slide 25): da lì riparte il deck non annotato, con i limiti delle sottosuccessioni e la non esistenza del limite. Serve Numeri reali, sup e inf (proprietà di Archimede) e, per i logaritmi, Funzioni elementari.

Il filo dell’argomento:

il cerchio di Archimede      poligoni con n lati sempre più grande: a cosa "tende" l'area?
        |
        v  3.1 successioni (28/9)
a: N -> R, a_n               n!, binomiali, Newton, progressione geometrica
        |
        v  3.2 limite (28-30/9)
a_n -> 0                     per ogni ε > 0 esiste ν_ε: n > ν_ε  =>  |a_n| < ε
a_n -> ℓ, +∞, -∞             cambia solo la relazione finale
        |
        v
unicità del limite           convergente  =>  limitata
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        v  3.3 sottosuccessioni (30/9, fino alla slide 25)
b_k = a_(n_k)                n_1 < n_2 < ...: si prende un pezzo della successione
        |
        v  da qui in poi non ancora fatto
limiti delle sottosuccessioni, non esistenza del limite, monotone, Nepero, confronto

1Definizioni

1.1Perché servono i limiti (slide 2-3)

Il problema di partenza è antico. Archimede afferma che un cerchio equivale a un triangolo con altezza pari al raggio e base lunga quanto la circonferenza. Per mostrarlo si usa l’area di un poligono regolare, $\text{Area} = \frac{\text{Perimetro} \times \text{Apotema}}{2}$, e il metodo di esaustione di Eudosso: si approssima il cerchio con poligoni regolari inscritti e circoscritti, con un numero di lati $n$ sempre più grande.

Al crescere di $n$ l’apotema $a_n$ si avvicina al raggio, il perimetro alla circonferenza, l’area del poligono a quella del cerchio. Nessun poligono è il cerchio: il cerchio è quello a cui la successione dei poligoni “tende”. Il problema, nelle parole della slide 3, è definire e valutare l’andamento asintotico di una successione, cioè il concetto di limite.

1.2Successione (slide 6, 28/9)

Il prof la disegna come grafico di una funzione: sull’asse orizzontale i naturali $0, 1, 2, 3, \dots$, sopra ciascuno il punto di altezza $a_n$, cioè $f(0) = a_0$, $f(1) = a_1$, e così via. Il grafico è fatto di punti isolati, non di una curva: fra $n = 1$ e $n = 2$ la successione non esiste.

Esempi della slide:

• $a_n = \frac1n$ per $n \geq 1$: la successione $1, \frac12, \frac13, \dots$ (qui l’indice parte da $1$, perché $\frac10$ non ha senso);
• $a_n = (-1)^n$ per $n \in \mathbb{N}$: la successione $1, -1, 1, -1, \dots$

1.3Fattoriale (slide 7)

Proprietà della slide:

1. $n! = n \cdot (n-1)!$
2. $\dfrac{n!}{(n-k)!} = n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)$ per $0 \leq k \leq n$

La 2 è una semplificazione: nel numeratore $n! = n(n-1)\cdots(n-k+1) \cdot (n-k)(n-k-1)\cdots 2 \cdot 1$ i fattori da $(n-k)$ in giù sono proprio $(n-k)!$ e si cancellano col denominatore. Restano $k$ fattori, da $n$ scendendo. Per esempio $\frac{5!}{3!} = 5 \cdot 4 = 20$.

Significato (osservazione della slide, spiegata dal prof): $n!$ è il numero di modi distinti di ordinare $n$ oggetti distinti, cioè le permutazioni di $n$ oggetti. Il ragionamento: per la prima posizione si può scegliere uno qualunque degli $n$ oggetti ($n$ modi); scelto quello, ne rimangono $n - 1$, quindi per ognuna delle $n$ possibilità ci sono $n - 1$ modi per scegliere la seconda posizione; e così via fino all’ultima, dove resta un solo oggetto. In tutto $n(n-1)\cdots 1 = n!$.

1.4Coefficiente binomiale (slide 8)

La seconda forma segue dalla proprietà 2 del fattoriale (annotazione del prof) ed è quella che si usa nei conti: $\binom{6}{2} = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15$.

Proprietà:

1. $\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1$: sono i lati del triangolo di Tartaglia, tutti uguali a $1$;
2. $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$: simmetria del triangolo;
3. $\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}$: ogni elemento si ottiene sommando i due elementi sopra di esso.

Triangolo di Tartaglia. Le righe si contano da $0$, e in ogni riga le colonne si contano da $0$. Il coefficiente $\binom{n}{k}$ è l’elemento di riga $n$ e colonna $k$.

riga 0              1
riga 1            1   1
riga 2          1   2   1
riga 3        1   3   3   1
riga 4      1   4   6   4   1
riga 5    1   5  10  10   5   1

Esempio del prof: il $6$ sta in riga $4$, colonna $2$, e infatti

Significato combinatorio (pagina dopo la slide 8). $\binom nk$ è il numero di modi di scegliere $k$ oggetti all’interno di un gruppo di $n$, quando l’ordine in cui si scelgono è irrilevante: le “scelte non ordinate” di $k$ elementi fra $n$. Il conto del prof:

• le scelte ordinate di $k$ oggetti fra $n$ sono $n(n-1)\cdots(n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!}$, con lo stesso ragionamento delle permutazioni ma fermandosi dopo $k$ posizioni;
• ogni scelta non ordinata corrisponde a $k!$ scelte ordinate (i modi di mettere in fila quei $k$ oggetti);
• quindi le scelte non ordinate sono $\dfrac{n!/(n-k)!}{k!} = \dfrac{n!}{(n-k)!\,k!} = \binom nk$.

1.5Successione geometrica (slide 10)

La proprietà che la caratterizza: il rapporto fra un termine e il precedente è costante, $\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{q^{n+1}}{q^n} = q$.

Esempio del prof con $q = \frac12$: $a_0 = 1$, $a_1 = \frac12$, $a_2 = \frac14$, $a_3 = \frac18$, ognuno metà del precedente.

1.6Limite di una successione (slide 12, 28/9 e 30/9)

Il problema: capire come si comporta $a_n$ quando $n$ diventa sempre più grande. Con $a_n = \frac1n$ i termini sono positivi e sempre più piccoli: si dice che ”$a_n$ tende a $0$”, che “il limite di $a_n$ per $n$ che tende all’infinito è $0$”, e si scrive

La stessa definizione detta a parole dal prof (30/9): $a_n \to 0$ se, fissata una qualunque soglia di tolleranza $\varepsilon$, possiamo affermare che a partire da un certo indice $\nu_\varepsilon$ tutti i successivi elementi di $(a_n)$, ovvero quelli relativi agli indici $n > \nu_\varepsilon$, distano da $0$ (il limite della successione) meno della soglia di tolleranza, ovvero $|a_n - 0| < \varepsilon$.

Due annotazioni:

• $\nu_\varepsilon$ è il punto di partenza: da lì in poi la condizione vale sempre. Dipende da $\varepsilon$, e per questo ha $\varepsilon$ a pedice. Al posto di $\nu_\varepsilon$ si scrive spesso $n_0$ o $n(\varepsilon)$ (“$n$-zero”).
• I primi termini non contano: la definizione chiede qualcosa solo per $n > \nu_\varepsilon$. Cambiare mille termini all’inizio non cambia il limite.

Il gioco a due giocatori (slide 13). Il primo giocatore sceglie $\varepsilon > 0$ e disegna una striscia orizzontale di spessore $2\varepsilon$ attorno all’asse delle ascisse. Il secondo risponde indicando un’ascissa $\nu_\varepsilon$ a partire dalla quale il grafico della successione resta intrappolato nella striscia. Il primo cerca di mettere in difficoltà il secondo, quindi sceglie $\varepsilon$ sempre più piccolo. La conclusione del prof: vale $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$ se e solo se il secondo giocatore ha una strategia vincente, cioè può fare la mossa richiesta qualunque sia la mossa del primo giocatore.

È il motivo dell’ordine dei quantificatori: prima “per ogni $\varepsilon$”, poi “esiste $\nu_\varepsilon$”. Se fosse “esiste $\nu$ tale che per ogni $\varepsilon$” il secondo giocatore dovrebbe muovere per primo, senza vedere la striscia, e una sola soglia dovrebbe andare bene per tutte le strisce: da $\nu$ in poi $|a_n| < \varepsilon$ per ogni $\varepsilon$ vuol dire $a_n = 0$, una condizione molto più forte.

Rispetto a $a_n \to 0$ cambia solo la relazione finale, e cambia il senso di $\varepsilon$: qui è una soglia da superare, e il primo giocatore, per mettere in difficoltà il secondo, la sceglie sempre più grande (slide 15). Il secondo deve trovare un’ascissa dopo la quale il grafico resta sopra la soglia. Il prof disegna due soglie $\varepsilon_1 < \varepsilon_2$: alla soglia più alta corrisponde un $\nu_{\varepsilon_2}$ più a destra. L’esempio più semplice (tautologico) è $a_n = n$: basta $\nu_\varepsilon = \varepsilon$.

Il prof: “cambia solo la relazione”. Si ottiene da $+\infty$ cambiando segno ad $a_n$: $a_n \to -\infty \iff -a_n \to +\infty$.

Si ottiene da $a_n \to 0$ con una “traslazione verticale”: $a_n \to \ell \iff a_n - \ell \to 0$. La condizione $-\varepsilon < a_n - \ell < \varepsilon$ equivale a $|a_n - \ell| < \varepsilon$, cioè a $\ell - \varepsilon < a_n < \ell + \varepsilon$: sul grafico la striscia ora è centrata sulla retta $y = \ell$.

Riassunto (slide 18, con le annotazioni del prof). Il comportamento di $(a_n)$ per $n \to +\infty$ è descritto da uno dei casi

Il prefisso è lo stesso in tutti e quattro: si impara una volta e si cambia solo la relazione finale.

1.7Sottosuccessione (slide 24, 30/9)

Si considera un nuovo indice indipendente $k$ e si ottiene una nuova successione $b_k = a_{n_k}$ per ogni $k$. Le annotazioni del prof: $(n_k)$ è una successione crescente di numeri naturali, e $n_k$ è l’indice rispetto alla successione originale. In pratica si scorre la successione e se ne tiene un pezzo infinito, senza cambiare l’ordine e senza ripetere termini.

2Enunciati

2.1Somma della progressione geometrica (slide 10, 28/9)

Esempio: $1 + 2 + 4 + \dots + 2^9 = \frac{2^{10} - 1}{2 - 1} = 1023$.

2.2Binomio di Newton (slide 9)

La riga $n$-esima del triangolo di Tartaglia dà i coefficienti dello sviluppo di $(a+b)^n$:

Il prof aggiunge la riga $5$ ($1, 5, 10, 10, 5, 1$, ottenuta dalla riga $4$ con la regola della somma):

Lo schema: l’esponente di $a$ scende da $n$ a $0$, quello di $b$ sale da $0$ a $n$, la somma dei due è sempre $n$. Il perché combinatorio: sviluppando $(a+b)(a+b)\cdots(a+b)$ si sceglie da ogni fattore $a$ oppure $b$; il termine $a^{n-k}b^k$ compare una volta per ogni modo di scegliere i $k$ fattori da cui prendere $b$, cioè $\binom nk$ volte.

2.3Unicità del limite (slide 21, 30/9)

Una successione non può avere due limiti diversi, quindi scrivere "$\lim a_n = \ell$" ha senso: il limite, se c’è, è uno solo.

Il teorema vale anche coi limiti infiniti (una successione non può tendere sia a $+\infty$ sia a $\ell$, per esempio): la dimostrazione è la stessa, con una striscia attorno a $\ell$ e una soglia sopra di essa. A lezione il prof ha fatto il caso finito.

2.4Limitatezza delle successioni convergenti (slide 22)

Il prof: brevemente si dice ”$a_n$ è limitata” (pensare a “delimitata”: tutti i termini stanno nella fascia fra $-M$ e $M$).

Il punto chiave è che “da un certo punto in poi” lascia fuori solo un numero finito di termini, e un insieme finito di numeri ha sempre un massimo. Il viceversa è falso: $(-1)^n$ è limitata ($|(-1)^n| = 1$) ma non converge.

3Metodo

3.1Verificare un limite con la definizione

Lo schema del prof (30/9) per $\lim a_n = \ell$:

1. Fissa $\varepsilon > 0$ qualsiasi. Non scegli tu un valore: $\varepsilon$ resta una lettera.
2. Obiettivo: trovare $\nu_\varepsilon$ tale che per ogni $n > \nu_\varepsilon$ valga la relazione della definizione ($-\varepsilon < a_n - \ell < \varepsilon$, oppure $a_n > \varepsilon$ per $+\infty$).
3. Risolvi la relazione rispetto alla variabile $n$, come una disequazione in $n$. Se è una doppia disuguaglianza, una alla volta.
4. Speri che l’insieme delle soluzioni contenga un intervallo della forma $(\nu_\varepsilon, +\infty)$: quel $\nu_\varepsilon$ è la risposta. Una disuguaglianza vera per tutti gli $n$ non pone condizioni.
5. Conclusione: “per ogni $n > \nu_\varepsilon$ la relazione è soddisfatta”.

Gli strumenti per il passo 3:

• Archimede: per ogni $x \in \mathbb{R}$ esiste un naturale $n > x$. Ogni volta che basta “un naturale abbastanza grande”, è lui.
• Monotonia: si applica a entrambi i membri una funzione strettamente crescente ($\log_a$ con $a > 1$, $t \mapsto t^{1/b}$ su $(0, +\infty)$) e il verso della disuguaglianza resta. Con una funzione decrescente ($\log_a$ con $0 < a < 1$) il verso si gira.
• Maggiorare: non serve la $\nu_\varepsilon$ più piccola possibile, ne basta una. Se $a_n > b_n$ e $b_n > \varepsilon$ per $n > \nu$, anche $a_n > \varepsilon$ per $n > \nu$.

4Esempi svolti a lezione

4.1Una successione per i dispari (pagina dopo la slide 6, 28/9)

Scrivere una successione che rappresenti i numeri dispari in ordine crescente. Il prof: $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ con $a_n = 2n + 1$. Controllo: $n = 0 \Rightarrow a_0 = 1$, $n = 1 \Rightarrow a_1 = 3$, $n = 2 \Rightarrow a_2 = 5$, e così via. (28/9, pagina 18)

4.2$\frac{1}{n} \to 0$ con la definizione (slide 12, 30/9)

Verificare che $(a_n)_{n > 0}$ con $a_n = \frac1n$ soddisfa $a_n \to 0$ (30/9, pagine 3-5).

• Fissiamo un qualunque $\varepsilon > 0$, la soglia di tolleranza.
• Per un corollario della proprietà di Archimede sappiamo che esiste $n(\varepsilon) \in \mathbb{N}$ tale che $\frac{1}{n(\varepsilon)} < \varepsilon$ (basta prendere $n(\varepsilon) > \frac1\varepsilon$).
• In particolare per ogni $n > n(\varepsilon)$ vale

perché un denominatore più grande dà una frazione più piccola. Quindi $|a_n - 0| < \varepsilon$ per ogni $n > n(\varepsilon)$, cioè $\frac1n \to 0$.

La slide dà la stessa cosa in una riga: $-\varepsilon < \frac1n < \varepsilon$ segue da $n > \nu_\varepsilon = \varepsilon^{-1}$. La disuguaglianza di sinistra è sempre vera ($\frac1n > 0$), quella di destra equivale a $n > \frac1\varepsilon$.

4.3$\sqrt{n} \to +\infty$ con la definizione (30/9)

Verificare che $a_n = \sqrt n$ soddisfa $a_n \to +\infty$ (30/9, pagine 13-14).

• Fissiamo $\varepsilon > 0$ qualsiasi, “pensato come numero grande”.
• Obiettivo: trovare $n(\varepsilon)$ tale che $a_n > \varepsilon$ per ogni $n > n(\varepsilon)$.
• Per la proprietà di Archimede esiste $n(\varepsilon) > \varepsilon^2$, quindi $\sqrt{n(\varepsilon)} > \varepsilon$ (la radice è crescente).
• Allora per ogni $n > n(\varepsilon)$: $a_n = \sqrt n > \sqrt{n(\varepsilon)} > \varepsilon$.

4.4$\lim \frac{n-1}{n+1} = 1$ (slide 19, esercizio a)

Qui $a_n = \frac{n-1}{n+1}$ e $\ell = 1$ (30/9, pagine 16-20). Dobbiamo mostrare che per ogni $\varepsilon > 0$ esiste $\nu_\varepsilon$ tale che per ogni $n > \nu_\varepsilon$ vale

Chiediamoci per quali valori di $n$ valgono la (1) e la (2). Il trucco del prof per semplificare: al numeratore si aggiunge e si toglie $2$,

• (1) diventa $-\frac{2}{n+1} > -\varepsilon$, cioè $\frac{2}{n+1} < \varepsilon$, cioè $n + 1 > \frac2\varepsilon$.
• (2) diventa $-\frac{2}{n+1} < \varepsilon$: il membro sinistro è negativo e il destro positivo, quindi è sempre verificata, per tutti gli $n$.

Come scegliamo $\nu_\varepsilon$? $\ \nu_\varepsilon := \frac{2}{\varepsilon} - 1$. Per ogni $n > \nu_\varepsilon$ la (1) è soddisfatta, e la (2) lo è sempre. $\blacksquare$

Controllo con un numero: $\varepsilon = \frac{1}{10}$ dà $\nu_\varepsilon = 19$; per $n = 20$, $|a_{20} - 1| = \frac{2}{21} < \frac{1}{10}$, mentre per $n = 19$ si ha $\frac{2}{20} = \frac1{10}$, non minore.

4.5$\lim a^n = +\infty$ per $a > 1$ (slide 19, esercizio b1)

Obiettivo: mostrare che per ogni $\varepsilon > 0$ esiste $\nu_\varepsilon$ tale che per ogni $n > \nu_\varepsilon$ vale la relazione (3) $a^n > \varepsilon$, dove $a^n$ è l’elemento generico della successione (30/9, pagine 21-22).

Dobbiamo risolvere la (3) rispetto alla variabile $n$ e sperare che l’insieme delle soluzioni contenga un intervallo $(\nu_\varepsilon, +\infty)$. Siccome $a > 1$, la funzione $t \mapsto \log_a t$ è crescente, e applicandola ai due membri il verso resta:

Scegliendo $\nu_\varepsilon := \log_a(\varepsilon)$ abbiamo che per ogni $n > \nu_\varepsilon$ vale (3), ovvero $a^n > \varepsilon$. $\blacksquare$

L’osservazione sul logaritmo con base fra $0$ e $1$ (pagine 23-25). Il prof si chiede com’è il grafico di $\log_a$ quando $0 < a < 1$, sapendo com’è con $a > 1$ (strettamente crescente). Nota che $a > 1 \iff 0 < a^{-1} < 1$, e usa il cambio di base $\log_a t = \frac{\log t}{\log a}$:

Quindi il grafico di $\log_{a^{-1}}$ è il riflesso di quello di $\log_a$ rispetto all’asse $x$: con base fra $0$ e $1$ il logaritmo è strettamente decrescente. È quello che serve per il caso $0 < a < 1$ di $a^n$, lasciato come esercizio (esercizio 3 in fondo).

4.6Sottosuccessioni (slide 25)

Esempio 1. $a_n = \frac1n$ con $n_k = k^2$, cioè $b_k = \frac{1}{k^2}$. Il prof scrive la successione $1, \frac12, \frac13, \frac14, \dots, \frac19, \frac1{10}, \dots$ e cerchia i termini di indice $1, 4, 9$: sono $b_1 = 1$, $b_2 = \frac14$, $b_3 = \frac19$. L’indice $k$ conta i termini estratti, $n_k$ dice dove stavano nella successione originale. Qui $k$ parte da $1$, come $n$.

Esempio 2. $a_n = (-1)^n$.

• La sottosuccessione dei termini di indice pari è $p_k = a_{2k} = (-1)^{2k} = 1$: costante.
• La sottosuccessione dei termini di indice dispari è $d_k = a_{2k+1} = (-1)^{2k+1} = -1$: costante.

Due sottosuccessioni con limiti diversi ($1$ e $-1$): è l’idea che, nelle slide successive, mostra che $(-1)^n$ non ha limite.

5Esercizi tipo esame

5.1Crocette (stile parte 1)

C1. Quale formula definisce $\lim_{n \to +\infty} a_n = -\infty$? a) $\forall \varepsilon > 0\ \exists \nu_\varepsilon : \forall n > \nu_\varepsilon,\ a_n < -\varepsilon$ b) $\exists \nu\ \forall \varepsilon > 0 : \forall n > \nu,\ a_n < -\varepsilon$ c) $\forall \varepsilon > 0\ \exists \nu_\varepsilon : \forall n > \nu_\varepsilon,\ |a_n| > \varepsilon$ d) $\forall \varepsilon > 0\ \exists \nu_\varepsilon : \exists n > \nu_\varepsilon,\ a_n < -\varepsilon$

C2. $\displaystyle\sum_{k=0}^{9} 2^k$ vale: a) $512$ b) $1023$ c) $1024$ d) $2047$

C3. Nello sviluppo di $(a + b)^5$ il coefficiente di $a^2 b^3$ è: a) $5$ b) $6$ c) $10$ d) $15$

C4. Quale affermazione è vera per ogni successione reale $(a_n)$? a) se $(a_n)$ è limitata, allora è convergente b) se $(a_n)$ è convergente, allora è limitata c) se $(a_n)$ è limitata, allora ha limite finito o infinito d) se $|a_n| \to 1$, allora $a_n \to 1$ oppure $a_n \to -1$

5.2Esercizi (stile parte 2)

Esercizio 1. Verificare con la definizione che $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \frac{2n + 1}{n + 3} = 2$.

Esercizio 2 (lasciato dal prof il 30/9). Mostrare che se $0 < a < 1$ allora $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} a^n = 0$.

Esercizio 3 (lasciati per casa, slide 19-20). Dati $b > 0$ e $a > 1$, verificare con la definizione che $\lim n^b = +\infty$ e $\lim \log_a n = +\infty$.

Esercizio 4. Dimostrare la proprietà del triangolo di Tartaglia $\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}$ per $1 \leq k \leq n - 1$, partendo dalla definizione col fattoriale.

Esercizio 5. Calcolare $\displaystyle\sum_{k=1}^{8} \frac{1}{2^k}$ e dire se la successione $S_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{2^k}$ è limitata.

6Errori tipici

• Scegliere un numero per $\varepsilon$. Nella verifica $\varepsilon$ resta una lettera: provare con $\varepsilon = 0{,}1$ è un controllo, non una dimostrazione.
• Scambiare “per ogni $\varepsilon$” ed “esiste $\nu$”. $\nu_\varepsilon$ dipende da $\varepsilon$ e viene dopo.
• Dimenticare che $\nu_\varepsilon$ deve funzionare per tutti gli $n > \nu_\varepsilon$, non per uno solo.
• Girare o non girare la disuguaglianza a caso. Applicando $\log_a$ il verso resta se $a > 1$ e si gira se $0 < a < 1$.
• Credere che limitata implichi convergente. $(-1)^n$ è il controesempio da avere sempre pronto.
• Sbagliare l’indice nella somma geometrica. $\sum_{k=0}^{n} q^k$ ha $n + 1$ termini, e all’esponente compare $n + 1$. Se la somma parte da $k = 1$ si toglie il termine $q^0 = 1$.
• $\binom nk$ con l’ordine. $\frac{n!}{(n-k)!}$ conta le scelte ordinate; per le non ordinate si divide ancora per $k!$.
• Sottosuccessione con indici che si ripetono o tornano indietro. Gli $n_k$ devono essere strettamente crescenti: $a_1, a_1, a_2, \dots$ o $a_3, a_1, \dots$ non sono sottosuccessioni.

7Domande

• Che cos’è una successione reale, e perché il suo grafico è fatto di punti isolati?

• Definisci $n!$ e spiega perché conta le permutazioni di $n$ oggetti.

• Che cosa conta $\binom nk$, e come si ricava $\frac{n!}{k!(n-k)!}$ dal conto delle scelte ordinate?

• Enuncia il binomio di Newton. Dove si legge il coefficiente di $a^{n-k}b^k$ nel triangolo di Tartaglia?

• Ricava la formula della somma $1 + q + \dots + q^n$ per $q \neq 1$. Quanto vale per $q = 1$?

• Scrivi con i quantificatori le definizioni di $a_n \to \ell$, $a_n \to +\infty$, $a_n \to -\infty$. Cosa cambia fra una e l’altra?

• Spiega il “gioco a due giocatori” per $a_n \to 0$ e per $a_n \to +\infty$: chi sceglie cosa, e in che direzione il primo giocatore spinge $\varepsilon$?

• Perché nella definizione di limite l’ordine “per ogni $\varepsilon$, esiste $\nu_\varepsilon$” non si può scambiare?

• Verifica con la definizione che $\frac1n \to 0$. Dove entra la proprietà di Archimede?

• Enuncia e dimostra il teorema di unicità del limite. Come si sceglie $\varepsilon$?

• Enuncia e dimostra il teorema di limitatezza delle successioni convergenti. Perché i primi termini non creano problemi?

• Vale il viceversa del teorema di limitatezza? Dai un controesempio.

• Definisci una sottosuccessione. Che condizione devono soddisfare gli indici $n_k$?

• Quali sono la sottosuccessione dei pari e quella dei dispari di $(-1)^n$?