Funzioni elementari

Argomento di Analisi Matematica 1, nozioni preliminari, sezione 1.5. Fatto a lezione il 21/9, slide 65-84: slide annotate dell’esercitazione del 21/9 (da pagina 10 il PDF usa un deck con numerazione diversa: slide 70-84 qui = 62-76 là). Prima: Funzioni (dominio, iniettività, inversa, simmetrie, monotonia). Il seguito è Trasformazioni di grafici.

Perché esiste questa lista. Le funzioni che incontrerai per tutto il corso non sono infinite specie diverse: sono queste poche, combinate fra loro con somma, prodotto, composizione e le trasformazioni del grafico. Riconoscere il mattone di partenza è metà del lavoro in uno studio di funzione, in un limite, in una derivata. Per ognuna servono tre cose in memoria: dominio, immagine, forma del grafico.

        mattone elementare        +  trasformazioni        =  funzione qualunque
        |x|, x^n, a^x, log, sin      traslare, riflettere,
        cos, tan, sinh, cosh         scalare, comporre

1Definizioni

1.1Funzioni lineari e affini

Funzione affine. $f(x) = mx + q$, con $m, q \in \mathbb{R}$. Il grafico è una retta non verticale: $m$ è la pendenza, $q$ l’ordinata dell’intersezione con l’asse $y$.

Funzione lineare. Il caso $q = 0$: $f(x) = mx$. Il grafico è una retta per l’origine, perché $f(0) = 0$.

Funzione costante. Il caso $m = 0$: $f(x) = q$, grafico orizzontale.

Una funzione affine passa per l’origine se e solo se $q = 0$, cioè se e solo se è lineare. Per questo “lineare” e “affine” non sono sinonimi: ogni lineare è affine, non viceversa.

1.2Valore assoluto

Dominio $\mathbb{R}$, immagine $[0, +\infty)$, funzione pari, non iniettiva.

Cosa misura. $|x|$ è la distanza di $x$ dall’origine sulla retta reale. Di conseguenza $|x - a|$ è la distanza fra $x$ e $a$: è questa lettura che rende leggibili tutte le disequazioni con i moduli. $|x - 3| < 2$ significa “i punti a distanza minore di $2$ da $3$”, cioè l’intervallo $(1, 5)$, e non serve nessun conto.

Attenzione al caso $x = 0$: rientra nel primo ramo, e $|0| = 0$. I due rami devono coprire tutto $\mathbb{R}$ senza sovrapporsi. È il primo esempio di funzione definita a tratti (annotazione del 21/9). Esempi sul PDF: $|2| = 2$, $|-3| = -(-3) = 3$.

1.3Potenze a esponente intero positivo e radici

$x^n$ con $n$ pari. Dominio $\mathbb{R}$, immagine $[0, +\infty)$. È pari: $(-x)^n = x^n$. Non è iniettiva ($f(-2) = f(2)$) e non è suriettiva su $\mathbb{R}$ (non assume valori negativi). Ristretta a $[0, +\infty) \to [0, +\infty)$ diventa biiettiva, e lì si inverte: l’inversa è la radice $n$-esima $\sqrt[n]{x}$, con dominio e immagine $[0, +\infty)$.

$x^n$ con $n$ dispari. Dominio e immagine $\mathbb{R}$. È dispari: $(-x)^n = -x^n$. È iniettiva e suriettiva, quindi invertibile su tutto $\mathbb{R}$ senza restrizioni; l’inversa $\sqrt[n]{x}$ ha dominio e immagine $\mathbb{R}$.

Il grafico dell’inversa è il simmetrico di quello della potenza rispetto alla bisettrice $y = x$: è la regola generale dell’inversa, qui la vedi all’opera.

$x^{-n} = \dfrac{1}{x^n}$ con $n \geq 1$: dominio $\mathbb{R} \setminus \{0\}$. Per $n$ pari il grafico sta tutto sopra l’asse $x$, per $n$ dispari cambia segno passando da destra a sinistra dell’origine.

$x^\alpha$ con $\alpha \in \mathbb{R}$. Dominio $[0, +\infty)$ se $\alpha \geq 0$, dominio $(0, +\infty)$ se $\alpha < 0$. Lo zero va escluso quando l’esponente è negativo perché si dividerebbe per zero.

Perché niente $x < 0$? Le annotazioni del 21/9 (slide 75) danno due problemi:

• Problema 1: con $x = -1$ e $\alpha = \frac12$ si avrebbe $(-1)^{1/2} = \sqrt{-1} \notin \mathbb{R}$.
• Problema 2: con base negativa non valgono le proprietà delle potenze. $\big((-2)^2\big)^{-1/2}$ calcolato in due modi dà $4^{-1/2} = \frac12$ se si fa prima il quadrato, ma $(-2)^{2 \cdot (-1/2)} = (-2)^{-1} = -\frac12$ se si moltiplicano gli esponenti. Due risultati diversi per la stessa scrittura.

1.4Esponenziale e logaritmo

Esponenziale $f(x) = a^x$ con $a > 0$. Dominio $\mathbb{R}$, immagine $(0, +\infty)$: l’esponenziale è sempre strettamente positivo, non tocca mai l’asse $x$. Passa per $(0, 1)$ perché $a^0 = 1$. È strettamente crescente se $a > 1$, strettamente decrescente se $0 < a < 1$.

Logaritmo $f(x) = \log_a x$ con $a > 0$, $a \neq 1$: è l’inversa dell’esponenziale di base $a$, cioè $\ell = \log_a x \iff a^\ell = x$. Dominio $(0, +\infty)$, immagine $\mathbb{R}$, e $\log_a 1 = 0$. Crescente se $a > 1$, decrescente se $0 < a < 1$.

Dominio e immagine si scambiano passando all’inversa, ed è il motivo per cui il logaritmo di un numero negativo o di zero non esiste: nessun esponente dà quel risultato.

Il caso $a = 1$ va escluso perché $1^x = 1$ per ogni $x$, quindi non è iniettiva e non si può invertire.

Base naturale. $e = 2{,}71828\ldots$, numero di Nepero. Si scrivono $e^x$ e $\log x$ (senza base) sottintendendo la base $e$.

1.5Funzioni trigonometriche

Sulla circonferenza trigonometrica, quella di raggio $1$ centrata nell’origine, si prende il punto $P$ tale che l’angolo fra $\overrightarrow{OP}$ e il semiasse positivo delle $x$ valga $\alpha$. Allora per definizione

L’angolo è in radianti: $\alpha$ è la lunghezza dell’arco percorso sulla circonferenza. Con raggio $1$ l’intera circonferenza misura $2\pi$, quindi $2\pi \leftrightarrow 360°$, $\frac{\pi}{2} \leftrightarrow 90°$, $\frac{\pi}{6} \leftrightarrow 30°$.

• $\sin x$: dominio $\mathbb{R}$, immagine $[-1, 1]$, dispari, periodo $2\pi$.
• $\cos x$: dominio $\mathbb{R}$, immagine $[-1, 1]$, pari, periodo $2\pi$.
• $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$: definita dove $\cos x \neq 0$, cioè per $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$. Immagine $\mathbb{R}$, periodo $\pi$.
• $\cot x = \dfrac{\cos x}{\sin x}$: definita dove $\sin x \neq 0$, cioè per $x \neq k\pi$. Immagine $\mathbb{R}$, periodo $\pi$.

Il periodo di tangente e cotangente è $\pi$ e non $2\pi$: dopo mezza circonferenza seno e coseno cambiano entrambi segno, e il loro rapporto resta lo stesso.

Valori da sapere senza calcolatrice (all’esame non è ammessa):

Il coseno è l’ascissa di un punto sulla circonferenza di raggio $1$: non può uscire da $[-1, 1]$, quindi $\cos\pi = -1$ (e non $-2$, come compare nel quaderno).

1.6Funzioni trigonometriche inverse

Nessuna funzione periodica è iniettiva, quindi nessuna si inverte così com’è. Si sceglie una restrizione a un intervallo dove la funzione è monotona:

La scelta dell’intervallo è convenzionale ma va ricordata: $\arcsin$ restituisce sempre un angolo fra $-\frac{\pi}{2}$ e $\frac{\pi}{2}$, mai un altro angolo con lo stesso seno.

1.7Funzioni iperboliche

• $\sinh$: dominio e immagine $\mathbb{R}$, dispari, strettamente crescente, quindi invertibile. L’inversa è $\sinh^{-1}(y) = \log\big(y + \sqrt{y^2 + 1}\big)$ (esempio svolto sotto).
• $\cosh$: dominio $\mathbb{R}$, immagine $[1, +\infty)$, pari, minimo $\cosh 0 = 1$.

Le due curve tratteggiate nella figura sono $\frac{e^x}{2}$ e $\pm\frac{e^{-x}}{2}$: le iperboliche sono la loro somma, e per $x$ grande il termine con $e^{-x}$ sparisce, quindi entrambe si appoggiano a $\frac{e^x}{2}$.

Il nome viene dall’identità $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$: il punto $(\cosh t, \sinh t)$ sta sull’iperbole $X^2 - Y^2 = 1$, come $(\cos t, \sin t)$ sta sulla circonferenza $X^2 + Y^2 = 1$.

2Enunciati

2.1Proprietà del valore assoluto

Letto come distanza: "$\leq$" dà un intervallo attorno all’origine, "$\geq$" dà i due pezzi che restano fuori. Il verso della disuguaglianza decide se il risultato è un intervallo o un’unione di due.

Queste formule valgono solo quando il modulo è isolato da una parte e dall’altra c’è una costante. Se dall’altra parte c’è un’espressione in $x$, come in $|x + 2| \leq |2x - 3| + 1$, si passa dai casi (vedi Metodo).

2.2Disuguaglianza triangolare

Vale l’uguaglianza quando $x_1$ e $x_2$ hanno lo stesso segno (o uno dei due è nullo); se hanno segni opposti si cancellano in parte e il modulo della somma è strettamente minore.

2.3La radice quadrata di un quadrato

Il simbolo $\sqrt{\ }$ indica per convenzione la radice non negativa, quindi il risultato non può essere negativo. Con $x = -3$: $\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3 = |-3|$. È l’errore classico nelle semplificazioni: $\sqrt{x^2}$ si semplifica in $x$ solo se sai già che $x \geq 0$.

2.4Identità trigonometriche

Nelle formule di addizione i segni del coseno sono invertiti rispetto a quelli del seno: è la parte che si sbaglia più spesso. La duplicazione si ottiene dalle formule di addizione ponendo $y = x$, quindi se ne ricordi una ricavi l’altra.

2.5Identità iperbolica

2.6Parità delle iperboliche

3Metodo

3.1Disequazioni con il valore assoluto

Due strade, e la prima si usa solo quando è applicabile.

Caso facile: un solo modulo contro una costante. Se la disequazione è della forma $|f(x)| \leq c$ o $|f(x)| \geq c$ con $c$ costante, applichi direttamente le proprietà elencate sopra e ti ritrovi con disequazioni senza moduli.

Caso generale: studio dei segni e casi. Se ci sono più moduli, o dall’altra parte compare ancora la $x$:

1. Trova gli zeri di ogni argomento dei moduli: sono i punti dove quel modulo cambia ramo.
2. Costruisci la tabella dei segni: gli zeri tagliano $\mathbb{R}$ in intervalli, e in ciascuno ogni modulo ha un segno fisso.
3. In ogni intervallo riscrivi la disequazione senza moduli, con il segno giusto, e mettila a sistema con la condizione che definisce l’intervallo.
4. Risolvi ogni sistema: la soluzione del sistema è l’intersezione fra la condizione dell’intervallo e la soluzione della disequazione.
5. La soluzione finale è l’unione delle soluzioni dei sistemi.

Il punto 4 è quello che si sbaglia: dentro un sistema si interseca, fra un sistema e l’altro si unisce. Saltare l’intersezione con l’intervallo porta a raccogliere soluzioni che in quel ramo non valgono.

L’esempio completo, quello della slide 69, è in Esempi svolti a lezione.

3.2Campo di esistenza

Il campo di esistenza (o dominio naturale) di una funzione data solo con la formula è il più grande sottoinsieme di $\mathbb{R}$ in cui la formula ha senso. Non è stato un argomento a sé a lezione, ma è il primo passo di ogni esercizio sulle funzioni, ed è nei fogli di esercizi (esercizi svolti di Pinamonti, es. 5).

Le condizioni da imporre, una per ogni “pezzo pericoloso”:

I passi:

1. elenca tutti i pezzi pericolosi, anche quelli annidati (una radice dentro un logaritmo dà due condizioni);
2. scrivi il sistema delle condizioni: vanno rispettate tutte insieme, quindi le soluzioni si intersecano;
3. risolvi ogni disequazione, con lo studio del segno se è fratta;
4. interseca e scrivi il risultato come unione di intervalli.

Una radice cubica o una potenza intera non danno condizioni, e non vanno imposte per scrupolo.

3.3Capire se una potenza è invertibile

1. Guarda la parità dell’esponente, non il valore dell’esponente.
2. Esponente dispari: la funzione è dispari e strettamente crescente su tutto $\mathbb{R}$, quindi invertibile senza restrizioni.
3. Esponente pari: la funzione è pari, quindi $f(-x) = f(x)$ e l’iniettività salta. Serve restringere a $[0, +\infty)$, e su quella restrizione l’inversa è $\sqrt[n]{x}$.

Lo stesso ragionamento vale per ogni funzione pari: la parità è un ostacolo all’invertibilità, perché ogni valore non nullo viene assunto almeno due volte.

4Esempi svolti a lezione

Gli esempi qui sotto vengono dal quaderno (pagine 22-26) e dal PDF annotato del 21/9.

4.1Modulo contro una costante (slide 68)

Annotati accanto alle proprietà: $|x| < 3 \iff -3 < x < 3$; $\ |x| \geq \frac12 \iff x \leq -\frac12$ oppure $x \geq \frac12$.

4.2Lineari e affini (slide 66)

Dal quaderno: le funzioni lineari passano per l’origine, le affini (con $q \neq 0$) no. $f(x) = 2x$ è lineare, $f(x) = 2x + 1$ è affine e $f(0) = 1$.

4.3$|x + 2| \leq |2x - 3| + 1$ (slide 69)

Iniziato a lezione sul quaderno, svolto per intero sul PDF del 21/9, con lo stesso risultato.

Zeri degli argomenti. $x + 2 = 0$ per $x = -2$; $2x - 3 = 0$ per $x = \frac{3}{2}$.

Tabella dei segni.

                   -2              3/2
      x + 2    ----|++++++++++++++++|++++++++
      2x - 3   ----|----------------|++++++++
                I         II            III

I tre sistemi. In ogni zona il modulo si toglie col segno della tabella:

Caso I. $-x - 2 \leq -2x + 4$, cioè $x \leq 6$. Intersecando con $x < -2$ resta $x < -2$: la condizione $x \leq 6$ non toglie niente.

Caso II. $x + 2 \leq -2x + 4$, cioè $3x \leq 2$, $x \leq \frac23$. Intersecando con $-2 \leq x < \frac32$: $-2 \leq x \leq \frac23$.

Caso III. $x + 2 \leq 2x - 2$, cioè $x \geq 4$. Intersecando con $x \geq \frac32$: $x \geq 4$.

Unione. $(-\infty, -2) \cup \left[-2, \frac23\right] \cup [4, +\infty) = \left(-\infty, \frac23\right] \cup [4, +\infty)$.

Controllo con i numeri: $x = 0$ dà $2 \leq 4$, vero; $x = 2$ dà $4 \leq 2$, falso; $x = 5$ dà $7 \leq 8$, vero. Sul grafico: è dove $|x + 2|$ sta sotto $|2x - 3| + 1$.

4.4$x^2$ e $\sqrt x$ (slide 70)

$f(x) = x^2$: dominio $\mathbb{R}$, immagine $[0, +\infty)$, pari perché $(-x)^2 = x^2$, né iniettiva né suriettiva su $\mathbb{R}$; iniettiva e suriettiva come funzione da $[0, +\infty)$ a $[0, +\infty)$. La sua inversa lì è $\sqrt{x}$, dominio e immagine $[0, +\infty)$, grafico simmetrico di quello di $x^2$ rispetto a $y = x$. N.B. della slide: $\sqrt{x^2} = |x|$.

4.5Il seno iperbolico è dispari (quaderno, pagina 26)

4.6L’inversa del seno iperbolico (PDF del 21/9, pagina 25)

“Esercizio non completato a lezione”, completato sul PDF. $\sinh$ è invertibile: si trova l’inversa risolvendo $y = \sinh x$ rispetto a $x$.

È un’equazione di secondo grado nell’incognita $e^x$ (si risolve come $t^2 - 2yt - 1 = 0$ con $t = e^x$):

• $e^x = y + \sqrt{y^2 + 1}$: accettabile.
• $e^x = y - \sqrt{y^2 + 1}$: non accettabile, perché $\sqrt{y^2 + 1} > \sqrt{y^2} = |y| \geq y$, quindi il membro destro è negativo, mentre $e^x > 0$.

Passando al logaritmo, $x = \log\big(y + \sqrt{y^2 + 1}\big)$, cioè

con la variabile rinominata $x$ alla fine, come si fa per scrivere l’inversa come funzione. Controllo: $\sinh^{-1}(0) = \log 1 = 0$, e $\sinh 0 = 0$.

5Esercizi tipo esame

5.1Crocette (stile parte 1)

C1. Il campo di esistenza di $f(x) = \log(x^2 - 1)$ è: a) $(1, +\infty)$ b) $(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$ c) $\mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}$ d) $\mathbb{R}$

C2. L’insieme delle soluzioni di $|x - 3| < 2$ è: a) $(1, 5)$ b) $[1, 5]$ c) $(-\infty, 1) \cup (5, +\infty)$ d) $(-5, -1)$

C3. $\arcsin\left(\sin\frac{3\pi}{4}\right)$ vale: a) $\frac{3\pi}{4}$ b) $\frac{\pi}{4}$ c) $-\frac{\pi}{4}$ d) $\frac{\sqrt2}{2}$

C4. Per ogni $x \in \mathbb{R}$, $\sqrt{x^2}$ è uguale a: a) $x$ b) $-x$ c) $|x|$ d) $\pm x$

5.2Esercizi (stile parte 2)

Esercizio 1 (esercizi di Pinamonti, es. 5 i). Determinare il campo di esistenza di $f(x) = \sqrt{\dfrac1x + \dfrac{1}{x - 1} + \dfrac{1}{x - 2}}$.

                    0      x1      1      x2      2
  3x²-6x+2     +    |   +   0   -   |   -   0  +   |   +
  x            -    0   +   |   +   |   +   |  +   |   +
  x-1          -    |   -   |   -   0   +   |  +   |   +
  x-2          -    |   -   |   -   |   -   |  -   0   +
  frazione     -    ||  +   0   -   ||  +   0  -   ||  +

Esercizio 2 (esercizi di Pinamonti, es. 5 ii). Determinare il campo di esistenza di $f(x) = \log\left(\left|\dfrac{x-1}{x-3}\right| - 1\right)$.

Esercizio 3 (foglio 0, es. 7). Determinare $F = \left\{x \in \mathbb{R} : \dfrac{|x| - 1}{x^2 + 2x - 3} \geq 0\right\}$.

                 -3       -1        1
  |x| - 1    +    |   +    0   -    0   +
  (x+3)(x-1) +    0   -    |   -    0   +
  frazione   +    ||  -    0   +    ||  +

Esercizio 4 (foglio 1, es. 1 ix). Studiare $A = \{|x| : x^2 < -2x + 3\}$: sup, inf, max, min.

6Errori tipici

• $\cos\pi = -2$ (dal quaderno): seno e coseno stanno sempre in $[-1, 1]$; $\cos\pi = -1$.
• Condizioni sbagliate nei sistemi del modulo (dal quaderno): $x \leq 2$ invece di $x < -2$, e $2 < x \leq \frac32$ invece di $-2 \leq x < \frac32$. Le zone vengono dagli zeri degli argomenti, ricopiati dalla tabella.
• Unire dentro un sistema e intersecare fra i sistemi. È il contrario: dentro si interseca, fra i casi si unisce.
• $\sqrt{x^2} = x$. Vale $|x|$.
• Dimenticare una condizione nel campo di esistenza, di solito quella annidata (la radice dentro un logaritmo) o lo zero del denominatore quando si annulla anche il numeratore.
• $\arcsin(\sin x) = x$ sempre. Solo per $x \in \left[-\frac\pi2, \frac\pi2\right]$.
• Base del logaritmo e dell’esponenziale. $a > 0$, e per il logaritmo anche $a \neq 1$.

7Domande

• Che differenza c’è fra una funzione lineare e una funzione affine?

• Scrivi la definizione di $|x|$ a due rami e di’ in quale ramo finisce $x = 0$.

• Perché $|x - a|$ si legge come una distanza, e cosa descrive $|x - 3| < 2$?

• Quanto vale $\sqrt{x^2}$? Verificalo con $x = -3$.

• $x^4$ è invertibile su $\mathbb{R}$? E $x^5$? Perché?

• Qual è il dominio e qual è l’immagine di $a^x$? E di $\log_a x$?

• Perché il logaritmo non è definito in $0$ né per argomenti negativi?

• Perché la base del logaritmo non può valere $1$?

• Come sono definiti $\cos \alpha$ e $\sin \alpha$ sulla circonferenza trigonometrica?

• Perché $\tan x$ ha periodo $\pi$ mentre $\sin x$ ha periodo $2\pi$?

• Su quale intervallo si restringe $\sin x$ per poterlo invertire, e quale immagine ha $\arcsin$?

• Scrivi le definizioni di $\sinh x$ e $\cosh x$ e di’ quale delle due è pari.

• Dimostra che $\sinh(-x) = -\sinh x$.

• Qual è l’identità che lega $\cosh^2 x$ e $\sinh^2 x$, e da dove viene il nome “iperboliche”?

• Enuncia la disuguaglianza triangolare e di’ quando vale l’uguaglianza.

• In $|x| \geq c$ con $c > 0$, la soluzione è un intervallo o un’unione di intervalli? Perché?

• Nel metodo dei casi per le disequazioni con moduli, quando si interseca e quando si unisce?

• Come si trova il campo di esistenza di una funzione composta, e quali pezzi danno condizioni?

• Quanto valgono $\sin$ e $\cos$ in $\frac\pi6$, $\frac\pi4$, $\frac\pi3$?