Funzioni

Argomento di Analisi Matematica 1, nozioni preliminari, sezioni 1.3 e 1.4. Fatto a lezione il 16/9, slide 45-61 (slide annotate del 16/9); monotonia e grafico dell’inversa (slide 62-64) il 21/9: monotone su slide non annotate, grafico dell’inversa annotato nel PDF dell’esercitazione del 21/9, che ripassa anche le slide 60-61 su funzioni limitate e simmetriche. Prima: Insiemi e logica (quantificatori) e Numeri reali, sup e inf (maggioranti, limitatezza). Il seguito è Funzioni elementari.

Il filo dell’argomento:

funzione f : A → B          a ogni x di A una e una sola immagine in B
      |
      |-- dominio, codominio, immagine
      |-- iniettiva / suriettiva / biiettiva      come arrivano le frecce in B
      |
      v
operazioni sulle funzioni
      |-- composizione g ∘ f                     prima f, poi g
      |-- inversa f⁻¹                            solo se f è biiettiva
      `-- restrizione f|D                        si toglie dominio per renderla iniettiva
      |
      v
funzioni reali di variabile reale  f : D → R, D ⊆ R
      |-- grafico                                le proprietà si leggono con rette orizzontali
      |-- limitate                               il grafico sta in una striscia
      |-- pari, dispari, periodiche              simmetrie del grafico
      `-- monotone                               (21/9)

1Definizioni

1.1Funzione

Un numero descrive una grandezza costante. Una funzione descrive una grandezza variabile che dipende da un’altra: la temperatura al variare della posizione, la velocità al variare del tempo, il prezzo di una merce al variare del tempo (slide 46).

Funzione (slide 47). Siano $A$, $B$ due insiemi non vuoti. Una funzione $f$ da $A$ a $B$ è una corrispondenza che associa a ogni elemento $x \in A$ uno e un solo elemento $y \in B$. Tale elemento si indica con $f(x)$ e si dice valore, o immagine, di $f$ in $x$. In simboli:

Il simbolo $\exists!$ si legge “esiste un unico” (il prof annota: notazione per “unico”). Si scrive $f : A \to B$. La $x$ è la variabile indipendente, la $y = f(x)$ la variabile dipendente: $f(x)$ è univocamente determinato da $x$.

Nella definizione ci sono due richieste, e mancarne una basta per non avere una funzione:

• ogni $x$ di $A$ ha una freccia (nessun elemento di partenza resta scoperto);
• da ogni $x$ parte una sola freccia (niente $x$ con due valori).

In $B$ invece possono arrivare zero, una o tante frecce: la definizione di funzione non chiede niente all’arrivo. Di quello si occupano iniettività e suriettività.

1.2Dominio, codominio, immagine

Data $f : A \to B$ (slide 48):

• $A$ è il dominio di $f$, l’insieme di partenza;
• $B$ è il codominio di $f$, l’insieme in cui $f$ prende i valori;
• l’immagine di $f$ è l’insieme dei valori effettivamente raggiunti,

Il prof annota: ”$\mathrm{Im}(f)$ è sempre contenuta nel codominio”, e segnala $f(A)$ come nuova notazione per l’immagine.

Esempio del prof (slide 48): $f(x) = \frac1x$. Scrivere $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ è sbagliato, e il prof cancella la $\mathbb{R}$ di partenza: in $0$ la formula non ha senso. Si scrive $f : \mathbb{R} \setminus \{0\} \to \mathbb{R}$, con dominio $\mathbb{R} \setminus \{0\}$, codominio $\mathbb{R}$ e immagine $\mathrm{Im}(f) = \mathbb{R} \setminus \{0\}$: ogni $y \neq 0$ è raggiunto da $x = \frac1y$, e $0$ non è raggiunto mai perché $\frac1x \neq 0$.

Codominio e immagine non sono la stessa cosa. Anche $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2$ ha codominio $\mathbb{R}$ ma immagine $[0, +\infty)$: i negativi stanno nel codominio e nessuna $x$ ci arriva.

1.3Iniettiva, suriettiva, biiettiva

Iniettiva (slide 49). Una funzione $f : A \to B$ si dice iniettiva se

Equivalentemente

Il prof chiama $A$ la prima parte e $B$ la seconda e scrive sopra la seconda forma “non($B$) $\Rightarrow$ non($A$)”: è la contronominale della prima. A parole: “due frecce distinte non puntano mai nello stesso punto”, cioè in ogni punto di $B$ arriva al più una freccia.

Suriettiva (slide 50). Una funzione $f : A \to B$ si dice suriettiva se $\mathrm{Im}(f) = B$. Equivalentemente

Il prof annota perché è equivalente: la condizione scritta vuol dire $B \subseteq \mathrm{Im}(f)$, e l’altra inclusione $\mathrm{Im}(f) \subseteq B$ vale sempre. A parole: in ogni punto di $B$ arriva almeno una freccia. Nota della slide: $f : A \to f(A)$ è sempre suriettiva, perché come codominio si è presa l’immagine.

Biiettiva (slide 51). Una funzione $f : A \to B$ si dice biiettiva, o biunivoca, se è sia iniettiva sia suriettiva. Equivalentemente

A parole: in ogni punto di $B$ arriva esattamente una freccia.

1.4Composizione

Composizione (slide 52). Siano $f : A \to B$ e $g : C \to D$. Se $B \subseteq C$ possiamo definire la composizione

Si legge ”$g$ composto $f$” oppure ”$g$ dopo $f$”. L’ordine di scrittura è il contrario di quello di esecuzione: si applica prima $f$, poi $g$ al risultato.

La condizione vera. La slide dice che $g \circ f$ ha senso, cioè è ben definita, se

Il prof annota $C = \mathrm{Dom}(g)$ e $B \supseteq \mathrm{Im}(f)$: $B \subseteq C$ è più del necessario, perché chiede che tutto il codominio di $f$ stia nel dominio di $g$, mentre servono solo i valori raggiunti davvero.

1.5Funzione inversa

Funzione inversa (slide 54). Sia $f : A \to B$ biiettiva, cioè $\forall y \in B$ esiste un unico $x \in A$ con $y = f(x)$: in ogni punto $y \in B$ arriva una e una sola freccia, e percorrendola all’indietro si trova l’$x$ associato. Possiamo definire la funzione inversa $f^{-1} : B \to A$, che associa a un punto $y \in B$ l’unico elemento $x = f^{-1}(y) \in A$ tale che $f(x) = y$:

Il prof annota da dove viene ogni pezzo: che l’$x$ esista deriva da $f$ suriettiva, che sia unico deriva da $f$ iniettiva.

Slide 55 e pagina seguente: la funzione inversa di una funzione biiettiva $f : A \to B$ è l’unica funzione $g : B \to A$ tale che

dove $\mathrm{Id}_A : A \to A$, $x \mapsto x$, è l’identità su $A$. Cioè $f^{-1}(f(x)) = x$ per ogni $x \in A$ e $f(f^{-1}(y)) = y$ per ogni $y \in B$: andare con $f$ e tornare con $f^{-1}$ riporta al punto di partenza, in tutti e due i sensi.

Attenzione alla notazione: $f^{-1}(x)$ è la funzione inversa, non $\frac{1}{f(x)}$.

Perché serve la biiettività.

• Se $f$ non è iniettiva, in qualche $y$ arrivano due frecce e tornando indietro non si sa quale prendere: $f^{-1}(y)$ avrebbe due valori e non sarebbe una funzione.
• Se $f$ non è suriettiva, in qualche $y$ non arriva nessuna freccia e $f^{-1}(y)$ non sarebbe definita.

1.6Restrizione

Restrizione (slide 56). Sia $f : A \to B$. Dato un sottoinsieme $D \subseteq A$, la restrizione di $f$ a $D$ è la funzione

Si legge ”$f$ ristretta a $D$”. Non si fa altro che cambiare il dominio, prendendone un sottoinsieme. È lo strumento per rendere iniettiva, e quindi invertibile, una funzione che non lo è: si butta via la parte di dominio che crea frecce doppie.

1.7Funzioni reali di variabile reale

Funzioni reali di variabile reale (slide 57-58). Sono le funzioni $f : D \to \mathbb{R}$ con $D \subseteq \mathbb{R}$. Il prof cerchia le due parole: “reali” vuol dire codominio $\mathbb{R}$, “di variabile reale” vuol dire dominio $D \subseteq \mathbb{R}$.

Grafico. Il grafico di $f$ è il sottoinsieme del piano cartesiano $\mathbb{R}^2 = \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ (dominio per codominio)

La notazione si legge “grafico di $f$”. Sull’asse orizzontale la variabile indipendente, su quello verticale la dipendente.

Dominio e immagine dal grafico (pagina dopo la slide 60). Il dominio è la proiezione del grafico sull’asse $x$; l’immagine di $f$ è la proiezione del grafico sull’asse $y$.

Cardinalità. $\#E$ si legge “cardinalità” e indica il numero di elementi di un insieme $E$. Serve per scrivere in simboli quante volte una retta tocca il grafico.

1.8Funzioni limitate

Funzione limitata (slide 60). Una funzione $f : D \to \mathbb{R}$, $D \subseteq \mathbb{R}$, si dice:

• limitata superiormente se esiste $M \in \mathbb{R}$ tale che $f(x) \leq M$ per ogni $x \in D$;
• limitata inferiormente se esiste $m \in \mathbb{R}$ tale che $f(x) \geq m$ per ogni $x \in D$;
• limitata se è limitata sia superiormente sia inferiormente.

Il prof annota: $f$ è limitata superiormente se e solo se $\mathrm{Im}(f)$ è un insieme limitato superiormente, e $M$ è un suo maggiorante. È la definizione di Numeri reali, sup e inf applicata all’immagine.

Sul grafico (pagine dopo la slide 60): una funzione è limitata superiormente se e solo se il grafico sta sotto qualche retta orizzontale; limitata inferiormente se sta sopra qualche retta orizzontale; limitata se il grafico è contenuto in una striscia delimitata da due rette orizzontali. Esempi della slide: $-x^2$ è limitata superiormente e non inferiormente, $e^x$ inferiormente e non superiormente, $\sin x$ limitata.

1.9Pari, dispari, periodiche

Sia $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ (slide 61).

Pari. $f$ è pari se $f(-x) = f(x)$ per ogni $x \in \mathbb{R}$. Annotazione del prof: se e solo se il grafico ha simmetria assiale rispetto all’asse $y$. Esempi: $x^2$, $x^4$, $|x|$, $\cos x$.

Dispari. $f$ è dispari se $f(-x) = -f(x)$ per ogni $x \in \mathbb{R}$: se e solo se il grafico ha simmetria centrale rispetto all’origine. Esempi: $x$, $x^3$, $\sin x$. Una dispari definita in $0$ ha per forza $f(0) = 0$, perché $f(0) = -f(0)$.

Periodica. $f$ è periodica se esiste $T > 0$ tale che $f(x + T) = f(x)$ per ogni $x \in \mathbb{R}$. Un tale $T$ si chiama periodo. Il grafico si ripete uguale ogni $T$. Esempi: $\sin x$ e $\cos x$ con $T = 2\pi$.

Una funzione può non essere né pari né dispari, per esempio $f(x) = x + 1$: $f(-1) = 0$ e $f(1) = 2$, quindi non vale né $f(-1) = f(1)$ né $f(-1) = -f(1)$. Se $T$ è un periodo lo sono anche $2T$, $3T$, …: il periodo che si indica di solito è il più piccolo, quando esiste (esercizio del prof in Esercizi tipo esame).

1.10Funzioni monotone (21/9)

Monotona (slide 62-63). Una funzione $f : D \to \mathbb{R}$, $D \subseteq \mathbb{R}$, si dice:

• monotona crescente se per ogni $x_1, x_2 \in D$: $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \leq f(x_2)$;
• monotona strettamente crescente se per ogni $x_1, x_2 \in D$: $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$;
• monotona decrescente se per ogni $x_1, x_2 \in D$: $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \geq f(x_2)$;
• monotona strettamente decrescente se per ogni $x_1, x_2 \in D$: $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$.

“Crescente” senza “strettamente” ammette tratti piatti: una costante è sia crescente sia decrescente. Esempio della slide 63 di funzione non monotona: $x^2$, strettamente decrescente in $(-\infty, 0]$ e strettamente crescente in $[0, +\infty)$. La monotonia riguarda un intervallo preciso: su tutto $\mathbb{R}$ la parabola non è monotona, sui due pezzi sì.

Una funzione strettamente monotona è iniettiva: se $x_1 \neq x_2$, uno dei due è più piccolo, e i valori sono diversi. È il modo più comodo per dimostrare l’iniettività, e lo si usa per tutte le funzioni elementari.

2Enunciati

2.1Proprietà sul grafico

In simboli, come scritto dal prof:

La seconda riga è la negazione della prima, fatta con le regole di Insiemi e logica. Per la biiettività il prof annota: esattamente un punto vuol dire al più un punto (iniettività) e almeno un punto (suriettività).

Perché funziona. La retta orizzontale $y = y_0$ tocca il grafico nei punti $(x, y_0)$ con $f(x) = y_0$. Contare le intersezioni vuol dire contare le frecce che arrivano in $y_0$.

2.2Proprietà della composizione

• Non è commutativa: in generale $g \circ f \neq f \circ g$ (il prof lo scrive a mano con il punto esclamativo; esempio svolto sotto).
• È associativa: $h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f$, quindi si può scrivere $h \circ g \circ f$ senza parentesi. Entrambi i lati mandano $x$ in $h(g(f(x)))$. Il prof lo verifica su un esempio, sotto.

2.3Grafico dell’inversa (slide 64, 21/9)

Annotazione sul PDF del 21/9: “invertibile” vuol dire iniettiva e suriettiva, e qui la suriettività è gratis perché il codominio è proprio l’immagine $f(D)$. Nella relazione $y = f(x) \iff x = f^{-1}(y)$ la $y$ sta in $f(D)$ e la $x$ in $D$.

3Metodo

Verificare che una funzione è iniettiva. Si parte da $f(x_1) = f(x_2)$ e si cerca di arrivare a $x_1 = x_2$. Oppure si mostra che è strettamente monotona. Per mostrare che non lo è basta un controesempio: due punti diversi con lo stesso valore.

Verificare che è suriettiva. Si prende $y$ generico nel codominio, si risolve $f(x) = y$ rispetto a $x$ e si controlla che la soluzione stia nel dominio. Per mostrare che non lo è basta un $y$ senza soluzione.

Scrivere una funzione come composizione. Si guarda l’ordine in cui si farebbero i conti partendo da $x$: la prima operazione è $f_1$, la seconda $f_2$, e così via. Poi si scrive al contrario, $h = f_n \circ \dots \circ f_2 \circ f_1$. La scomposizione non è unica.

Mostrare che $g \circ f \neq f \circ g$. Basta un solo $x$ in cui i due valori sono diversi. Il punto va scelto con cura: in alcuni punti coincidono per caso.

Trovare l’inversa.

1. Controlla che $f$ sia biiettiva. Se non è iniettiva, restringi il dominio; se non è suriettiva, prendi come codominio l’immagine.
2. Scrivi $y = f(x)$ e ricava $x$ in funzione di $y$.
3. Verifica $f^{-1}(f(x)) = x$ e $f(f^{-1}(y)) = y$.

Pari o dispari. Calcola $f(-x)$ e confrontalo con $f(x)$ e con $-f(x)$. Per dire che non è pari basta un $x$ con $f(-x) \neq f(x)$.

4Esempi svolti a lezione

4.1ES1: iniettiva non suriettiva, $f(x) = \frac3x$ (16/9, pagina dopo la slide 50)

$f : \mathbb{R} \setminus \{0\} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \frac{3}{x}$. Il grafico è un’iperbole con due rami, nel primo e nel terzo quadrante.

• Iniettiva. Ogni retta orizzontale taglia il grafico al più una volta. Coi conti: $\frac{3}{x_1} = \frac{3}{x_2} \Rightarrow x_1 = x_2$.
• Non suriettiva. La retta $y = 0$ non tocca il grafico: $\frac3x = 0$ non ha soluzioni, quindi $0$ sta nel codominio ma non nell’immagine.

4.2ES2: iniettiva e non suriettiva da dominio a immagine? (16/9)

Non esiste. Se si chiede che il codominio sia l’immagine, la funzione è suriettiva per costruzione: $f : A \to f(A)$ lo è sempre.

4.3ES3: suriettiva non iniettiva, $f(x) = |x|$ (16/9)

$f : \mathbb{R} \to [0, +\infty)$, $f(x) = |x|$.

• Suriettiva. Per ogni $x$ nel codominio $[0, +\infty)$ esiste $y$ nel dominio $\mathbb{R}$ con $f(y) = x$: per esempio $y = x$, ma anche $y = -x$.
• Non iniettiva. $x_1 := 1$ e $x_2 := -1$: $x_1 \neq x_2$ ma $f(x_1) = 1 = f(x_2)$.

Sulla pagina il codominio è scritto $[0, +\infty]$ con la quadra: a $+\infty$ la parentesi va tonda, $[0, +\infty)$.

4.4$\cos(x^2)$ e $(\cos x)^2$: la composizione non commuta (slide 53)

$f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2$, $g(x) = \cos x$.

Come verificare che $\cos(x^2) \neq (\cos x)^2$? Si sceglie un $x$ opportuno.

• $x = 0$ non va bene: $\cos(0^2) = 1 = (\cos 0)^2$, coincidono.
• $x = \sqrt{\pi}$: $\cos\big((\sqrt\pi)^2\big) = \cos(\pi) = -1$, mentre $\big(\cos\sqrt{\pi}\big)^2 \geq 0$ perché è il quadrato di qualcosa. Un numero $\geq 0$ non può valere $-1$, quindi $g \circ f \neq f \circ g$.

Il trucco è scegliere $x$ in modo che uno dei due conti sia facile ($x^2 = \pi$) e l’altro abbia un segno obbligato.

4.5$\log\sqrt{x^2 + 1}$ come composizione, e l’associatività (slide 53)

$h(x) = \log\left(\sqrt{x^2 + 1}\right)$. Partendo da $x$ si calcola prima $x^2 + 1$, poi la radice, poi il logaritmo:

Il prof mostra anche un’altra scomposizione, $f_1(x) = x^2$, $f_2(x) = \sqrt{x + 1}$, $f_3(x) = \log x$: non esiste un modo unico.

Controllo delle condizioni: $\mathrm{Im}(f_1) = [1, +\infty)$ sta nel dominio della radice $[0, +\infty)$; la radice di un numero $\geq 1$ è $\geq 1$, che sta nel dominio del logaritmo $(0, +\infty)$. Quindi $h$ è definita su tutto $\mathbb{R}$.

Verifica dell’associatività sull’esempio (pagina dopo la slide 53).

• $f_3 \circ (f_2 \circ f_1)$: prima $f_2 \circ f_1 = \sqrt{x^2 + 1}$, poi $f_3\big(\sqrt{x^2+1}\big) = \log\sqrt{x^2 + 1}$.
• $(f_3 \circ f_2) \circ f_1$: prima $g := f_3 \circ f_2$, cioè $g(x) = \log\sqrt{x}$; poi $g(f_1(x)) = \log\sqrt{x^2 + 1}$.

Stesso risultato. (Sulla pagina del prof il primo conto ha un $\sqrt{x^2 + 2}$ scappato in un passaggio intermedio; il risultato giusto è quello con $x^2 + 1$.)

4.6Invertire $x^2$ con una restrizione (pagine dopo la slide 56)

$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2$. Qual è l’inversa? Il prof: in questo caso la domanda non ha senso, perché $f$ non è iniettiva e quindi non esiste la funzione inversa. Infatti:

• non è iniettiva, $f(-2) = f(2) = 4$;
• non è suriettiva, $-1$ non è il quadrato di nessun reale.

Passo 1, iniettività. Si restringe a $\mathbb{R}^+ \cup \{0\} = [0, +\infty)$:

Sui numeri $\geq 0$ il quadrato è strettamente crescente.

Passo 2, suriettività. Diventa biiettiva se come codominio si considera l’immagine:

è iniettiva e suriettiva, quindi biiettiva e invertibile.

Passo 3, l’inversa. Da $y = x^2$ con $x \geq 0$ si ricava $x = \sqrt{y}$, quindi $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$. Verifica:

Il primo passaggio regge solo grazie alla restrizione: in generale $\sqrt{x^2} = |x|$, e vale $x$ solo per $x \geq 0$.

4.7Periodica senza periodo minimo: il caso costante (pagina dopo la slide 61)

Il prof chiede di esibire una funzione periodica tale che non esista

La costante $f(x) = 5$ funziona: per qualsiasi $T > 0$ vale $f(x + T) = 5 = f(x)$, quindi l’insieme dei periodi è $(0, +\infty)$. Il suo inf è $0$, ma $0$ non è un periodo ammesso (si chiede $T > 0$), quindi il minimo non esiste. Poi il prof rilancia: esibirne una non costante. È l’esercizio 3 qui sotto.

5Esercizi tipo esame

5.1Crocette (stile parte 1)

C1. $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2$ è: a) iniettiva ma non suriettiva b) suriettiva ma non iniettiva c) né iniettiva né suriettiva d) biiettiva

C2. $f : \mathbb{R} \setminus \{0\} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \frac3x$ è: a) iniettiva ma non suriettiva b) suriettiva ma non iniettiva c) né iniettiva né suriettiva d) biiettiva

C3. Siano $f(x) = x^2$ e $g(x) = \cos x$. Quanto vale $(g \circ f)(\sqrt\pi)$? a) $1$ b) $-1$ c) $\cos^2\sqrt\pi$ d) $\pi$

C4. Quale funzione $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ è dispari? a) $x^2 + x$ b) $x^3 - \sin x$ c) $x^2\cos x$ d) $x + 1$

5.2Esercizi (stile parte 2)

Esercizio 1. Sia $f : \mathbb{R} \setminus \{3\} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3}$. Dire se è iniettiva, trovarne l’immagine, e scrivere l’inversa di $f : \mathbb{R} \setminus \{3\} \to \mathrm{Im}(f)$.

Esercizio 2. Siano $f(x) = \sqrt{x}$ e $g(x) = x^2 - 1$, ciascuna sul suo dominio naturale. Scrivere $g \circ f$ e $f \circ g$ con i loro domini.

Esercizio 3 (lasciato dal prof il 16/9). Esibire una funzione periodica non costante tale che non esista il minimo dei periodi.

Esercizio 4. Sia $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x|x|$. Dire se è pari o dispari, se è iniettiva e suriettiva, e trovarne l’inversa.