Numeri reali, sup e inf

Argomento di Analisi Matematica 1, nozioni preliminari, sezione 1.2. Fatto a lezione il 15/9, slide 23-41 (slide annotate del 15/9), e il 16/9, slide 42-44 sugli assiomi (slide annotate del 16/9). Vocabolario: Linguaggio matematico; logica e quantificatori: Insiemi e logica.

Il filo dell’argomento, in ordine:

N ⊂ Z ⊂ Q          somme, prodotti, ordine: ma nella retta restano dei buchi (√2)
      |
      v
R                  tutti gli allineamenti decimali
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      v
sup e inf          il più piccolo dei maggioranti, il più grande dei minoranti
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      v
completezza        ogni insieme limitato superiormente ha sup in R   (in Q no)
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      v
Archimede          N non è limitato: per ogni x reale c'è un n > x
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      v
densità di Q       fra due reali distinti c'è sempre un razionale

1Definizioni

1.1Insiemi numerici

Valgono le inclusioni $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$, e la slide precisa “tutte le inclusioni sono strette”. Il simbolo è $\subset$ perché nel corso $\subset$ vuol dire $\subseteq$ (vedi Insiemi e logica): che siano strette va detto a parte.

In questo corso $0 \in \mathbb{N}$: altri testi partono da $1$, quindi occhio a come è scritto l’esercizio.

Frazioni equivalenti. La scrittura di un razionale come frazione non è unica: $\frac{p_1}{q_1} = \frac{p_2}{q_2}$ se $p_1 q_2 = p_2 q_1$. Esempio delle slide: $\frac{2}{3} = \frac{4}{6} = \frac{10}{15}$.

Ordinamento totale. Su questi insiemi sono definite somma e prodotto, e la relazione $\leq$ è un ordinamento totale: per ogni coppia $a, b$ vale $a \leq b$ oppure $b \leq a$, cioè due numeri si possono sempre confrontare. Il prof annota anche la proprietà transitiva: se $a \leq b$ e $b \leq c$ allora $a \leq c$.

Rappresentazione decimale dei razionali. Ogni $x \in \mathbb{Q}$ si scrive con un allineamento decimale limitato (da un certo punto in poi solo zeri) o periodico (da un certo punto in poi un blocco di cifre si ripete all’infinito):

Vale anche il viceversa: ogni allineamento limitato o periodico è un razionale. Esistono però allineamenti né limitati né periodici, come quello della slide 27, $0{,}1011011101111\dots$ (dopo ogni $0$ un $1$ in più), che il prof annota come “un numero in $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$”.

$0{,}\overline{9} = 1$. Annotazione del prof sulla slide 27: ”$0{,}99999\dots$ è equivalente a $1$”. Lo stesso numero può avere due scritture decimali. Il motivo: fra $0{,}999\dots$ e $1$ non c’è spazio per nessun numero. Se fossero diversi, la differenza $1 - 0{,}\overline{9}$ sarebbe un positivo più piccolo di $\frac{1}{10^n}$ per ogni $n$, e un numero così non esiste (è Proprietà di Archimede travestita). Controprova veloce: $\frac{1}{3} = 0{,}\overline{3}$, moltiplicando per $3$ si ottiene $1 = 0{,}\overline{9}$.

1.2Numeri reali

Numeri reali (definizione della slide 28). L’insieme $\mathbb{R}$ dei numeri reali è l’insieme di tutti i possibili allineamenti decimali:

Su $\mathbb{R}$ si estendono somma, prodotto e l’ordinamento totale $\leq$ che c’erano in $\mathbb{Q}$, e $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.

Per $x > 0$ la scrittura vuol dire che, troncando a $n$ cifre, si sbaglia per difetto di meno di $\frac{1}{10^n}$:

Esempio scritto a mano dal prof: se $x = 0{,}57431\dots$, con $n = 5$ si ha $0{,}57431 \leq x < 0{,}57432$. Troncare a $n$ cifre dà un’approssimazione per difetto; aumentare di $1$ l’ultima cifra dà un’approssimazione per eccesso.

Intervalli (slide 29). Dati $a, b \in \mathbb{R}$ con $a < b$. La parentesi tonda esclude l’estremo, la quadra lo include.

Le prime quattro sono limitate, le semirette illimitate. Dalla parte di $\pm\infty$ la parentesi è sempre tonda, perché $\infty$ non è un numero reale e non può appartenere all’insieme.

1.3Maggioranti e minoranti

Da qui in poi $A \subset \mathbb{R}$ con $A \neq \emptyset$ (slide 30).

Maggiorante. Un elemento $M \in \mathbb{R}$ si dice maggiorante per $A$ se $x \leq M$ per ogni $x \in A$. Il prof cerchia "$\in \mathbb{R}$": non serve che $M$ appartenga ad $A$.

Minorante. Un elemento $m \in \mathbb{R}$ si dice minorante per $A$ se $x \geq m$ per ogni $x \in A$.

Limitato. $A$ si dice limitato superiormente se ammette almeno un maggiorante, limitato inferiormente se ammette almeno un minorante, limitato se è limitato sia superiormente sia inferiormente.

Se un insieme ha un maggiorante ne ha infiniti: con $M$ va bene anche $M + 1$, $M + 100$ e così via.

Esempio del prof (slide 31): $A = [-1, 2]$. I maggioranti sono $[2, +\infty)$, i minoranti $(-\infty, -1]$, quindi $A$ è limitato. Le altre righe della slide sono $(0, +\infty)$ (limitato inferiormente, non superiormente), $(-\infty, 2]$ (il contrario) e $\{1, \frac12, \frac13, \dots\}$ (limitato, tutto in $(0, 1]$).

Illimitato superiormente. È la negazione di “limitato superiormente”, fatta a mano sulla slide 31:

A parole: comunque scelgo un candidato maggiorante $M$, c’è un elemento di $A$ che lo supera.

1.4Massimo e minimo

Massimo (slide 32). Un elemento $M \in \mathbb{R}$ si dice massimo per $A$ ($M = \max A$) se:

1. $M$ è un maggiorante per $A$ (cioè $x \leq M$ per ogni $x \in A$);
2. $M \in A$.

Annotazione del prof: è “il più grande tra gli elementi di $A$”.

Minimo. $m$ si dice minimo per $A$ ($m = \min A$) se $m$ è un minorante per $A$ e $m \in A$: “il più piccolo tra gli elementi di $A$”.

Anche se un insieme è limitato superiormente, il massimo può non esistere: $[-1, 2)$ ha come maggioranti tutti i numeri $\geq 2$, ma nessuno di loro sta in $A$, perché $2$ è escluso. Il minimo invece c’è ed è $-1$. Massimo e minimo, se esistono, sono unici: la dimostrazione, per assurdo come chiede il prof, è in Unicità di massimo e minimo.

1.5Estremo superiore e inferiore

Estremo superiore (slide 33). Un elemento $\bar{x} \in \mathbb{R}$ si dice estremo superiore di $A$ ($\bar{x} = \sup A$) se $\bar{x}$ è il più piccolo dei maggioranti di $A$, il minimo dei maggioranti:

Estremo inferiore. $\underline{x} = \inf A$ se $\underline{x}$ è il più grande dei minoranti di $A$, il loro massimo:

Nota bene della slide. La definizione di sup ha senso se esiste almeno un maggiorante, cioè se $A$ è limitato superiormente. Si pone allora:

È una convenzione di scrittura: $+\infty$ non è un numero reale, e dire $\sup A = +\infty$ è solo un modo breve per dire che $A$ non ha maggioranti. Riguarda insiemi non vuoti; l’insieme vuoto è escluso fin dall’inizio ($A \neq \emptyset$).

Legame con massimo e minimo (slide 34).

• Se esiste il massimo $M = \max A$, allora $\sup A = M$.
• Se esiste $\sup A$, non è detto che esista il massimo; se però $\sup A \in A$, allora il massimo esiste e $\sup A = \max A$.
• Per inf e minimo vale lo stesso: se esiste $\min A$ allora $\inf A = \min A$; se $\inf A \in A$ allora il minimo esiste e coincide con l’inf.

Esempio $A = [-1, 2)$: $\sup A = 2$ ma $2 \notin A$, quindi niente massimo. $\inf A = -1 = \min A$.

1.6Parte intera

Parte intera (slide 36). Dato $x \in \mathbb{R}$, la sua parte intera è

È il più grande intero che non supera $x$, e soddisfa $\lfloor x \rfloor \leq x < \lfloor x \rfloor + 1$. Esempi scritti dal prof: $\lfloor 7{,}312 \rfloor = 7$ e $\lfloor -7{,}312 \rfloor = -8$. Coi negativi non basta cancellare i decimali: $-7$ è più grande di $-7{,}312$, quindi non va bene. Altri: $\lfloor 3 \rfloor = 3$, $\lfloor -2{,}5 \rfloor = -3$.

L’insieme $\{y \in \mathbb{Z} : y \leq x\}$ è limitato superiormente da $x$, quindi il sup esiste; è un insieme di interi, e il sup è un suo elemento, quindi è in realtà un massimo.

2Enunciati

2.1$\sqrt{2}$ non è razionale

Con $\sqrt2$ si intende la soluzione positiva dell’equazione $x^2 = 2$: è la lunghezza della diagonale del quadrato di lato $1$, un punto della retta che nessun razionale rappresenta.

Il passaggio delicato è ”$m^2$ pari $\Rightarrow$ $m$ pari”: non è ovvio, va giustificato col conto sui dispari.

2.2Unicità di massimo e minimo

La stessa idea dà l’unicità di sup e inf: il sup è il minimo dell’insieme dei maggioranti, e un minimo è unico.

2.3Caratterizzazione di sup e inf

È la forma che si usa negli esercizi. Il prof la scrive a mano dopo la slide 33 (15/9, pagine 19-20) con le domande “che proprietà ha l’estremo superiore $M$ di un insieme $A$?”.

La (2) è la negazione di ”$N$ è un maggiorante”, ripetuta per ogni $N < M$: comunque abbassi il candidato sotto $M$, qualche elemento di $A$ lo scavalca. Insieme, (1) e (2) dicono che $M$ è un maggiorante e che è il più piccolo.

Forma equivalente con $\varepsilon$. Ogni $N < M$ si scrive $N = M - \varepsilon$ con $\varepsilon = M - N > 0$. Quindi la (2) equivale a

e la (4) a $\forall \varepsilon > 0,\ \exists x \in A : x < m + \varepsilon$. Sono la stessa cosa scritta in un altro modo, e nei libri si trova spesso questa.

2.4Assioma di completezza di $\mathbb{R}$

Il prof cerchia "$\in \mathbb{R}$": il sup esiste dentro $\mathbb{R}$. È la proprietà fondamentale che differenzia $\mathbb{R}$ da $\mathbb{Q}$, dove l’assioma non vale.

Perché è un assioma. Non si dimostra: è una delle regole con cui si definisce $\mathbb{R}$. Dei dieci assiomi dei reali (vedi sotto) i primi nove valgono anche in $\mathbb{Q}$. La completezza è l’unico che $\mathbb{Q}$ non rispetta.

Cosa succede in $\mathbb{Q}$. Esempio della slide 35:

$A$ è limitato superiormente, per esempio da $2$. I maggioranti razionali si possono stringere sempre di più: $1{,}5$, poi $1{,}42$, poi $1{,}415$, poi $1{,}4143$… Non ce n’è però uno più piccolo di tutti, perché il candidato naturale sarebbe $\sqrt{2}$, che in $\mathbb{Q}$ non c’è. Il prof disegna $A \cap \mathbb{Q}$ come una fila di tacche che si ferma a $\sqrt2$ senza un ultimo punto.

          A (razionali con x² < 2)            maggioranti razionali
   0 ●━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ ○ ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━▶
                                          ↑
                               √2: qui in Q c'è un buco,
                         nessun razionale fa da "più piccolo maggiorante"

Cosa succede in $\mathbb{R}$. Stesso insieme con $x \in \mathbb{R}$. Ora la completezza garantisce che esista $\bar{x} = \sup A$. Chi è?

• $\bar{x}^2 < 2$ è impossibile: un numero appena più grande di $\bar{x}$ avrebbe ancora quadrato minore di $2$, starebbe in $A$, e $\bar{x}$ non sarebbe un maggiorante.
• $\bar{x}^2 > 2$ è impossibile: un numero appena più piccolo di $\bar{x}$ avrebbe ancora quadrato maggiore di $2$ e sarebbe un maggiorante più piccolo di $\bar{x}$.
• Resta $\bar{x}^2 = 2$ (slide 36).

Così è la completezza a far esistere $\sqrt{2}$ in $\mathbb{R}$, definito come $\sqrt{2} := \sup A$.

Significato geometrico. Dal punto di vista geometrico l’assioma corrisponde al fatto che ogni punto della retta reale corrisponde a un numero reale: la retta non ha buchi.

Versione con l’inf (non scritta sulle slide, ma vale): se $A \neq \emptyset$ è limitato inferiormente, esiste $\inf A \in \mathbb{R}$. Basta applicare l’assioma all’insieme degli opposti $\{-x : x \in A\}$, che è limitato superiormente.

2.5Gli assiomi dei numeri reali

Slide 42-44, lezione del 16/9. Esiste l’insieme $\mathbb{R}$ con due operazioni $+, \cdot : \mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ e una relazione d’ordine totale $\leq$ che rispettano:

Annotazione del prof sulla (10): “superiormente limitato” equivale a “ammette un maggiorante”. Tutte le altre regole di calcolo sono teoremi, cioè si dimostrano da questi dieci: l’unicità di opposto e inverso, $a \cdot 0 = 0$, la regola “più per meno fa meno” $a \cdot (-b) = -(ab)$, la legge di annullamento del prodotto.

2.6Proprietà di Archimede

Cosa dice. Non esiste un numero reale più grande di tutti i naturali. Scegli un $x$ enorme quanto vuoi, prima o poi un naturale lo supera.

Perché le due forme sono la stessa cosa. ”$\mathbb{N}$ è limitato superiormente” si scrive $\exists M \in \mathbb{R} : \forall n \in \mathbb{N},\ n \leq M$. Negandola: $\forall M \in \mathbb{R},\ \exists n \in \mathbb{N} : n > M$. È la seconda forma, con $M$ al posto di $x$ (ed è la definizione di illimitato superiormente della slide 31).

A cosa serve in pratica. A rendere le cose piccole quanto si vuole. Dato $\varepsilon > 0$, Archimede applicato a $x = \frac{1}{\varepsilon}$ dà un $n > \frac{1}{\varepsilon}$, cioè

Le frazioni $\frac{1}{n}$ scendono sotto qualsiasi soglia positiva. Questo fatto torna nella densità, in ogni esercizio su sup e inf, e poi nei limiti.

Senza la completezza non ci sarebbe un $s$ da cui partire: la dimostrazione si regge tutta su quel sup.

2.7Densità di $\mathbb{Q}$ in $\mathbb{R}$

Cosa dice. I razionali stanno dappertutto sulla retta. Prendi un intervallo piccolo quanto vuoi, dentro c’è un razionale. Applicando l’enunciato più volte (fra $a$ e $q$, fra $q$ e $b$, …) i razionali dentro diventano infiniti.

Come convive con i buchi. $\mathbb{Q}$ ha dei buchi, ma sono singoli punti come $\sqrt{2}$, non tratti di retta. Ogni reale si può avvicinare quanto si vuole con dei razionali: i troncamenti $1$, $1{,}4$, $1{,}41$, $1{,}414$, … sono tutti razionali e si stringono attorno a $\sqrt{2}$.

  griglia di passo 1/n:   |           |           |           |           |
                       (m-2)/n     (m-1)/n       m/n       (m+1)/n

  intervallo (a, b):                     a (━━━━━━━━●━━━━━━━) b
                                                    ↑
                                                   m/n

  il passo 1/n è più corto di b - a: la griglia non può saltare l'intervallo

Due fatti vicini (non sulle slide):

• $\mathbb{Q}$ è denso in sé. Fra due razionali $p < r$ c’è sempre un razionale, per esempio la media $\frac{p + r}{2}$.
• Anche gli irrazionali sono densi in $\mathbb{R}$. Dati $a < b$, la densità di $\mathbb{Q}$ applicata a $\frac{a}{\sqrt{2}} < \frac{b}{\sqrt{2}}$ dà un razionale $q \neq 0$ in mezzo. Moltiplicando per $\sqrt{2}$, $a < q\sqrt{2} < b$, e $q\sqrt{2}$ è irrazionale: se fosse razionale, lo sarebbe anche $\sqrt{2} = \frac{q\sqrt{2}}{q}$.

3Metodo

Dimostrazione per assurdo. Per dimostrare una tesi $T$:

1. Si suppone vera la sua negazione, $\text{non } T$.
2. Si ragiona con passaggi corretti fino a una contraddizione, cioè una frase falsa di sicuro oppure in conflitto con un’ipotesi (due numeri coprimi che risultano entrambi pari, un maggiorante di $\mathbb{N}$).
3. Siccome $\text{non } T$ porta al falso, è falsa lei, quindi $T$ è vera.

È parente della contronominale di Insiemi e logica. In questa nota la usano $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$, l’unicità del massimo, Archimede e l’esercizio su $x \leq \frac1n$.

Trovare sup, inf, max, min di un insieme.

1. Scrivi i primi elementi ($n = 1, 2, 3, 4$) e guarda come si muovono: crescono, calano, oscillano? Se c’è $(-1)^n$, separa $n$ pari e $n$ dispari.
2. Riscrivi l’elemento generico in una forma dove si vede il comportamento: $\frac{2n+1}{n+1} = 2 - \frac{1}{n+1}$, $\frac{n^2+3n+2}{n^2} = 1 + \frac3n + \frac{2}{n^2}$.
3. Fai un’ipotesi su sup e inf.
4. Dimostra la (1): è una disuguaglianza da verificare per ogni $n$.
5. Dimostra la (2): prendi $N < M$ qualsiasi e trova un $n$ con $x_n > N$. Di solito si arriva a una richiesta del tipo $\frac1n <$ qualcosa, e la risolve Archimede.
6. Decidi max e min: il sup è un massimo se e solo se appartiene all’insieme, cioè se esiste un $n$ con $x_n = M$.

Per l’inf si fa lo stesso con (3) e (4). Se l’insieme è dato da una disequazione, prima la si risolve e si scrive l’insieme come unione di intervalli: a quel punto sup e inf si leggono.

Mostrare che qualcosa è piccolo a piacere. Se serve un $n$ con $\frac{1}{n} < \varepsilon$, Archimede lo dà: basta $n > \frac{1}{\varepsilon}$. Se serve $\frac{c}{n} < \varepsilon$, basta $n > \frac{c}{\varepsilon}$.

4Esempi svolti a lezione

4.1$A = [-1, 2]$: maggioranti e minoranti (slide 31)

Maggioranti: tutti gli $M \geq 2$, cioè $[2, +\infty)$. Minoranti: tutti gli $m \leq -1$, cioè $(-\infty, -1]$. Entrambi gli insiemi sono non vuoti, quindi $A$ è limitato. Qui $2 \in A$ e $-1 \in A$: $\max A = \sup A = 2$, $\min A = \inf A = -1$.

4.2$A = \left\{1, \frac12, \frac13, \dots\right\} = \left\{\frac1n : n \geq 1\right\}$ (slide 34 e 40)

Il prof scrive $\sup A = \max A = 1$ e $\inf A = 0$, e chiede di mostrare la (3) e la (4). Lo svolgimento completo:

Sup e max. $1 \in A$ (con $n = 1$) e $\frac1n \leq 1$ per ogni $n \geq 1$: $1$ è un maggiorante che sta in $A$, quindi $\max A = 1$, e allora $\sup A = 1$.

(3): $0$ è un minorante. $\frac1n > 0$ per ogni $n \geq 1$, quindi $x \geq 0$ per ogni $x \in A$.

(4): nessun numero più grande di $0$ è un minorante. Sia $\eta > 0$. Serve un elemento di $A$ più piccolo di $\eta$, cioè un $n$ con $\frac1n < \eta$. Per Archimede esiste $n \in \mathbb{N}$ con $n > \frac{1}{\eta}$, e per quell’$n$ vale $\frac1n < \eta$. Quindi $\eta$ non è un minorante.

Min? $0 \notin A$, perché $\frac1n = 0$ non ha soluzioni. Quindi $\inf A = 0$ e il minimo non esiste.

4.3Esercizio: $x \leq \frac1n$ per ogni $n$ implica $x \leq 0$ (slide 38)

Testo. Sia $x \in \mathbb{R}$ tale che $x \leq \frac1n$ per ogni $n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$. Dimostrare, usando la proprietà di Archimede, che $x \leq 0$.

Il prof lo rilegge così: $x$ è un minorante dell’insieme $A = \{1, \frac12, \frac13, \dots\}$ dell’esempio sopra.

Dimostrazione del prof (per assurdo). Supponiamo $x > 0$. Siccome $x \leq \frac1n$ per ogni $n$, dividendo si ha $\frac1x \geq n$ per ogni $n \in \mathbb{N}$: qui si usa $x > 0$, che permette di dividere senza girare la disuguaglianza. Allora $\frac1x$ è un maggiorante per $\mathbb{N}$, e questo contraddice la proprietà di Archimede. Quindi $x \leq 0$. $\blacksquare$

Con l’esempio sopra c’è anche una via breve: $x$ è un minorante di $A$ e $\inf A = 0$ è il più grande dei minoranti, quindi $x \leq 0$.

4.4$C = \left\{\frac{2n+1}{n+1} : n \in \mathbb{N}\right\}$: il sup è $2$ (slide 41)

Primi elementi, con $n = 0, 1, 2, 3, 4$:

Crescono e sembrano avvicinarsi a $2$. Il prof vuole mostrare che $M = 2$ è il sup. Il trucco è riscrivere l’elemento generico:

$2$ è maggiorante per $C$. $\frac{1}{n+1} > 0$, quindi $2 - \frac{1}{n+1} \leq 2$ per ogni $n \in \mathbb{N}$.

$2$ è il più piccolo dei maggioranti. Sia $M < 2$ e sia $a := 2 - M > 0$. Per Archimede esiste $n \in \mathbb{N}$ con $n > \frac{1}{a}$, quindi anche $n + 1 > \frac1a$, cioè $\frac{1}{n+1} < a$. Allora

L’elemento $\frac{2n+1}{n+1}$ sta in $C$ ed è più grande di $M$: $M$ non è un maggiorante. Quindi $\sup C = 2$.

Massimo? $2 = 2 - \frac{1}{n+1}$ vorrebbe $\frac{1}{n+1} = 0$, impossibile: $2 \notin C$ e il massimo non esiste. Il minimo invece c’è: gli elementi crescono con $n$, il più piccolo è quello con $n = 0$, e $\min C = \inf C = 1$.

5Esercizi tipo esame

5.1Crocette (stile parte 1)

C1. Sia $A = \left\{\frac1n : n \in \mathbb{N},\ n \geq 1\right\}$. Quale affermazione è vera? a) $\min A = 0$ b) $\inf A = 0$ e $A$ non ha minimo c) $\sup A = 1$ ma $A$ non ha massimo d) $A$ non è limitato inferiormente

C2. Sia $A = (0, 1] \cup \{2\}$. Allora: a) $\sup A = 1$ b) $\max A = 2$ e $\inf A = 0$ c) $\min A = 0$ d) $A$ non ha massimo

C3. Sia $A \subset \mathbb{R}$ non vuoto e $M$ un maggiorante di $A$. $M = \sup A$ se e solo se: a) $M \in A$ b) $\forall N < M,\ \exists x \in A : x > N$ c) $\forall N > M,\ \exists x \in A : x > N$ d) $\exists N < M : \forall x \in A,\ x > N$

C4. $\lfloor -7{,}312 \rfloor$ vale: a) $-7$ b) $-8$ c) $7$ d) $-7{,}3$

5.2Esercizi (stile parte 2)

Esercizio 1 (slide 41, insieme $D$ lasciato senza svolgimento). Dire se $D = \{n\cos(\pi n) : n = 1, 2, \dots\}$ è limitato superiormente o inferiormente, e trovare $\sup D$ e $\inf D$.

Esercizio 2 (foglio 1, es. 1 i). Studiare $A = \left\{x_n = \frac{n^2 + 3n + 2}{n^2} : n \in \mathbb{N},\ n \geq 1\right\}$: limitatezza, sup, inf, massimo, minimo.

Esercizio 3 (foglio 1, es. 1 iv). Studiare $A = \left\{x_n = (-1)^n \frac{3n - 1}{n} : n \geq 1\right\}$.